Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

 

Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΗΣ

 

Μια καινούρια ΙΔΕΑ. Μια εναλλακτική διατύπωση.

Κατά τα χρόνια που ακολούθησαν τον θάνατο του Newton ( 1727) εκτός από την εδραίωση και τον μαθηματικό εμπλουτισμό της Μηχανικής του επωάζεται και μια καινούρια ΙΔΕΑ,  η οποία θα οδηγήσει σε μια διαφορετική και μαθηματικά πιο ευέλικτη διατύπωση του δεύτερου νόμου της κίνησης για σημειακό αντικείμενο.  Είναι η αρχικά διατυπωμένη στα γαλλικά ως  Principe de moindre action,  και στα γερμανικά ως  Prinzip der kleinsten Wirkung.   Οι αγγλόφωνοι θα την αποκαλούν Principle of least action, και οι Έλληνες Αρχή της ελάχιστης δράσης .

Θα προσφέρει στους φυσικούς μια εναλλακτική διατύπωση της κλασικής Μηχανικής ανεξάρτητη από τους νευτωνικούς νόμους και πολλά χρόνια αργότερα, στον 20ο αιώνα, θα αποδειχθεί γόνιμη σε γνωστικά πεδία όπως η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, η κβαντική θεωρία πεδίου και η σωματιδιακή φυσική. Στην εποχή μας βρίσκεται στον πυρήνα πολλών από τις θεωρίες της σύγχρονης φυσικής.

 

Η κυριαρχία των μαθηματικών

Η οικοδόμηση της εναλλακτικής αυτής Μηχανικής πραγματοποιήθηκε χωρίς τη συμβολή των εργαστηριακών ερευνητών. Ήταν μια διαδρομή χωρίς πειραματικές διεργασίες, με βασικούς πρωταγωνιστές τους μεγάλους Ευρωπαίους μαθηματικούς της εποχής. Δεν ήταν μια έρευνα με σκοπό την ανατροπή της νευτωνικής Μηχανικής,  αλλά ένα ταξίδι μέσα από τις έννοιες και τις μαθηματικές επεξεργασίες.  Ή μάλλον ας το πούμε με το όνομά του. « Ήταν ένα έργο των μαθηματικών».

Η καταγωγή της ΙΔΕΑΣ σχετίζεται με την Αρχή του Fermat για τον πιο σύντομο δρόμο του φωτός και η κυοφόρησή της έγινε μέσα από αναζητήσεις σε ερωτήματα όπως « ανάμεσα στους διάφορους δρόμους για την κίνηση ενός σώματος ποιον επιλέγει το σώμα μέσα σε ορισμένο περιβάλλον ;»  «Υπάρχει άραγε κάποιο βαθύτερο μυστικό που να συμπεριλαμβάνει και τις μαθηματικές προτάσεις των νόμων του Newton ; »

Την πατρότητά της την διεκδικούν οι Γάλλοι αποδίδοντας την στον Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, (Μοπερτυί ) ο οποίος την παρουσίασε το 1744. Αλλά την ίδια χρονιά την παρουσιάζει και μάλιστα μέσα από εξαιρετική μαθηματική επεξεργασία και ο Leonhard Euler στο Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. Ωστόσο για κάποιους λόγους ανεξήγητους ο Euler δεν θα της αποδώσει την προτεραιότητα που της αρμόζει. Εκείνος που θα της αποδώσει ιδιαίτερη σημασία είναι ο γεννημένος στο Τορίνο Ιταλο-Γάλλος Joseph Luis  Lagrange.

 

Τι ακριβώς είναι  ΔΡΑΣΗ ;

Σύμφωνα με την Αρχή,  η τροχιά που θα διαγράψει ένα σημειακό αντικείμενο θα είναι εκείνη για την οποία μια ορισμένη ποσότητα θα είναι ΕΛΑΧΙΣΤΗ.

Η ποσότητα αυτή – για τους Γάλλους λέγεται ACTION,  για τους Γερμανούς WIRKUNG, για τους Άγγλους ACTION ενώ στην ελληνική γλώσσα αποδόθηκε με το ΔΡΑΣΗ

Στα γραπτά του Maupertuis διαβάζουμε « L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible. »

Η ΔΡΑΣΗ είναι ανάλογη με το γινόμενο «μάζα, ταχύτητα, θέση». Και τώρα ιδού αυτή η Αρχή, τόσο σοφή, τόσο άξια για το υπέρτατο Όν :  Καθώς συντελούνται κάποιες μεταβολές στη φύση, η ποσότητα ΔΡΑΣΗΣ που απαιτήθηκε για τις μεταβολές αυτές είναι πάντα η όσο γίνεται λιγότερη , η ελάχιστη δυνατή.

 

Ο Leonhard Euler

Ο γεννημένος το 1707 στη Βασιλεία της Ελβετίας Λέοναρντ Όιλερ θα περιγράψει τη ΔΡΑΣΗ με ένα ολοκλήρωμα.  Σε μια στοιχειώδη μετατόπιση dq η αντίστοιχη τιμή της δράσης είναι  mυdq ίση δηλαδή με το γινόμενο «ορμή επί στοιχειώδη μετατόπιση». Εφόσον dq = υdt ,  η στοιχειώδης δράση γίνεται mυ2dt ίση δηλαδή με το διπλάσιο της κινητικής ενέργειας επί το στοιχειώδες χρονικό διάστημα dt.

Η τιμή της δράσης σε χρονικό διάστημα t2- t1 θα είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα m(dq/dt)2dt από t1 έως t2 .

και θα υποστηρίξει  ότι « η τροχιά την οποία θα διαγράψει ένα σώμα θα είναι εκείνη για την οποία το ολοκλήρωμα ΔΡΑΣΗ θα έχει την ελάχιστη τιμή» 

Στη μαθηματική έκφραση η οποία τελικά θα επικρατήσει συμμετέχει και αυτό που θα λέγαμε σήμερα ΔΥΝΑΜΙΚΗ ενέργεια και η δική του αυτή διατύπωση δείχνει ότι η Αρχή της ελάχιστης δράσης αντιστοιχεί σε αυτό που θα λένε οι μεταγενέστεροι φυσικοί ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ .  Η έννοια ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ κάνει έτσι την εμφάνισή της στη Φυσική αλλά ως μαθηματική έκφραση και όχι με το φυσικό περιεχόμενο που θα αποκτήσει τον 19Ο αιώνα. 

 

1788.Ένα βιβλίο σταθμός. Η Αναλυτική Μηχανική του LAGRANGE.

Το 1755 θα κάνει την εμφάνισή της η εξίσωση Euler – Lagrange.  Την εποχή εκείνη τόσο ο 19χρονος Λαγκράνζ όσο και ο 48χρονος Όιλερ αναζητούν λύση στο «πρόβλημα του ισόχρονου».

Ένα σημειακό αντικείμενο πάνω σε στερεά καμπύλη επιφάνεια – οδηγό  ξεκινά από ένα τυχαίο σημείο της και να κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας προς ένα σταθερό σημείο β.  Το πρόβλημα είναι «να προσδιοριστεί» η μοναδικής εκείνη καμπύλης πάνω στην οποία θα κινηθεί προς το β, σε δεδομένο χρονικό διάστημα,  ανεξάρτητα από το σημείο που ξεκίνησε.  

Ο νεαρός Joseph Luis Lagrange φθάνει σε μια λύση το 1755 και την στέλνει στον Όιλερ ο οποίος την επεξεργάζεται για να οδηγηθούν σε μια διατύπωση με βάση την Αρχή της ελάχιστης δράσης σε μία μαθηματική διατύπωση με βάση τον Λογισμό των μεταβολών, όπως θα τον ‘βαπτίσει» ο Όιλερ το 1766. Τη χρονιά εκείνη μάλιστα ο Λαγκράνζ θα διαδεχθεί τον Όιλερ ως καθηγητής των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.

 

Ο Λαγκράνζ προκειμένου για το ολοκλήρωμα της δράσης εισάγει τη συνάρτηση L και του δίνει τη μορφή Ldt ( ορισμένο ολοκλήρωμα από t1 έως  t2 ). H  L είναι μια συνάρτηση θέσης (q) και ταχύτητας (q΄) .

Ας υποθέσουμε ότι παρατηρούμε ένα σημειακό αντικείμενο, ένα κομμάτι ύλης που «χωράει» σε ένα γεωμετρικό σημείο του χώρου και ότι τη χρονική στιγμή t1 βρίσκεται στο γεωμετρικό σημείο 1 ενός χώρου που συνιστά περιβάλλον μαθηματικά περιγράψιμο. Ο Lagrange μας υπόσχεται ότι μπορεί να προβλέψει το μέλλον του. Υποστηρίζει ότι στο χρονικό διάστημα  t2- t1  το  αντικείμενο ΘΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΕΙ τη διαδρομή εκείνη  για την οποία η ποσότητα  Ldt ( ορισμένο ολοκλήρωμα από t1 έως  t2 )  παρουσιάζει ακρότατο.  Σε ένα ορισμένο – διατηρητικό όπως λέμε σήμερα - σύστημα η  L  συνάρτηση θέσης  και ταχύτητας είναι ίση με τη διαφορά T- U, στην οποία το σύμβολο Τ να παριστάνει μαθηματική ποσότητα αντίστοιχη της κινητικής ενέργειας ενώ το σύμβολο U να είναι μαθηματική ποσότητα αντίστοιχη της δυναμικής ενέργειας χωρίς τόσο η κινητική ενέργεια όσο και η δυναμική ενέργεια να έχουν τη φυσική σημασία που τους  απέδωσε ο 19ος αιώνας .

Η μεταξύ τους σχέση σε ένα διατηρητικό σύστημα είναι η περίφημη διαφορική εξίσωση Euler – Lagrange     

U/∂q = d/dt(∂T/∂q΄) - ∂T/∂q την οποία συνήθως, αλλά όχι πάντα,  οι φοιτητές την αποστηθίζουν. Ισοδύναμη είναι και η μορφή  L/∂q = d/dt(∂L/∂q΄)

Η συνάρτηση L θα κυκλοφορεί σε όλα τα πανεπιστήμια του μέλλοντος με τον χαρακτηρισμό  LAGRANGIEN. Οι έλληνες φοιτητές μαθαίνουν να της αποδίδουν το σχετικά κακόηχο «λαγκρανζιανή».  

Το  1788 θα ο Λαγκράνζ θα παρουσιάσει το κορυφαίο έργο της εποχής, την  Méchanique Analytique  – Αναλυτική Μηχανική - στο οποίο η Αρχή παίζει έναν ρόλο πρωταγωνιστή . Στην Αναλυτική αυτή Μηχανική ο Λαγκρανζ διατυπώνει τις εξισώσεις κίνησης ενός σώματος με μία  μαθηματική προσέγγιση η οποία εμπλουτίζει τη νευτωνική Μηχανική

 

19ος αιώνας.  Ο William Rowan HAMILTON.

Lagrange has perhaps done more than any other to give extent and harmony to such deductive researches by showing that the most varied consequences … may be derived from one radical formula, the beauty of the method so suiting the dignity of the results as to make his great work a kind of scientific poem.                          

W. R. Hamilton

 

Πολλές δεκαετίες αργότερα, στα χρόνια δηλαδή από το 1827 μέχρι το 1834,  ο μεγάλος Ιρλανδός μαθηματικός

William Rowan HAMILTON, ερευνώντας την εφαρμογή της Αρχής στην Οπτική θα αναπτύξει  μια καινούργια μαθηματική προσέγγιση βασιζόμενη στη μελέτη της ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ με μέθοδο αναλυτική για να οδηγηθεί στη διατύπωση της λεγόμενης ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.  Η δική του πρόταση περιέχει τη συνάρτηση Η μια συνάρτηση θέσης και ορμής και αυτή με διαστάσεις ενέργειας  Η = T + U   η οποία θα κυκλοφορεί με τον χαρακτηρισμό HAMILTONIEN, στην ελληνική της απόδοση «χαμιλτονιανή» .  Αλλά και η Αρχή της ελάχιστης δράσης μέσα από τη δική του μαθηματική επεξεργασία λέγεται και Αρχή του HAMILTON.

Το 1840 ο Jacobi θα εμπλουτιστεί ακόμα περισσότερο τη θεώρηση αυτή.

 

η  LANGRANGIEN

η HAMILTONIEN

η   L = T-U  είναι μια συνάρτηση θέσης (q) και ταχύτητας (q’) .       L = L ( q, q’ ) .

H τιμή της για σώμα στο άκρο ελατηρίου είναι L(q, q’) = ½ mq2 – ½ kq2.

η   Η =  T+ U  είναι μια συνάρτηση θέσης (q) και ορμής (p)            Η  = Η ( q, p)

H τιμή της για σώμα στο άκρο ελατηρίου

είναι      H(q, p) = ½p2/m + ½kq2.

Όσο για τις μερικές παραγώγους είναι

L/∂q΄ = mq΄ ( με διαστάσεις ορμής) και

L/∂q = -kq  ( με διαστάσεις δύναμης)

Όσο για τις μερικές παραγώγους είναι

H/∂p = p/m   ( με διαστάσεις ταχύτητας)  και  H/∂q = kq  ( με διαστάσεις δύναμης)

 

H Μηχανική του Hamilton θα καθοδηγήσει πολλούς από τους φυσικούς του 20ου αιώνα. Το 1915 ο  Hilbert βασιζόμενος σε αυτήν, θα αποδείξει τις εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας – ο Einstein τις είχε αποδείξει με διαφορετικό τρόπο - το  1920, ο de Broglie θα οδηγηθεί στη διατύπωση μιας θεωρίας των κβάντα, το 1942 ο Richard Feynman θα επαναδιατυπώσει την Κβαντομηχανική . 

 

Αρχή της ελάχιστης δράσης και κλασική Μηχανική.

Ιδιαίτερα σημαντικό για την οικοδόμηση της κλασικής Μηχανικής είναι ότι

« Η  Αρχή της ελάχιστης δράσης εμπεριέχει τη Νευτωνική Μηχανική».

Είναι με άλλα λόγια δυνατόν να ανοικοδομηθεί η Νευτωνική Μηχανική

με θεμέλιο μόνο την Αρχή της ελάχιστης δράσης.

Ας δούμε το παράδειγμα ενός αρμονικού ταλαντωτή.

Αν ξεκινήσουμε από την εξίσωση Euler Lagrange

L/∂q = d/dt(∂L/∂q΄) L/∂q = -kq      L/∂q΄= p ( ορμή)   F = -kq  άρα F = dp/dt

γίνεται φανερό ότι καταλήγουμε στον δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης.   

 

H φυσική κίνηση ενός σωματιδίου σε διατηρητικό σύστημα ικανοποιεί την Αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton,  με Λαγκρανζιανή L=TU  .  Σε αυτήν την περίπτωση οι δύο πρώτοι νευτωνικοί νόμοι της κίνησης  είναι ισοδύναμοι  με την αρχή του Hamilton. 

Θα μπορούσε βέβαια κανείς να παρατηρήσει ότι σε ένα σύστημα με τριβή (μη διατηρητικό) δεν υπάρχει κατ’ ανάγκη  Λαγκρανζιανή συνάρτηση η οποία μέσω των εξισώσεων Euler-Lagrange να οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Βασιζόμενος σε αυτό θα μπορούσε να αποφανθεί ότι «οι νόμοι του Νεύτωνα είναι γενικότεροι από την αρχή του Hamilton» και υπό αυτό το πρίσμα να μην έχει άδικο

Ωστόσο παρότι  οι νόμοι του Νεύτωνα στην κλασική Μηχανική είναι  γενικότεροι  από την αρχή της ελάχιστης δράσης του Hamilton, η αρχή του Hamilton μας δίνει τη δυνατότητα να προσεγγίσουμε βαθύτερα τους νόμους της μηχανικής, να καταλάβουμε πώς  παράγονται οι διατηρήσιμες ποσότητες, και να διαμορφώσουμε ένα πλαίσιο με το οποίο να μπορούμε να πραγματευτούμε τις νεώτερες θεωρίες της Φυσικής. Αλλά και το «ότι δεν μπορούμε με την αρχή του Hamilton να πραγματευτούμε την κίνηση σε μη συντηρητικά πεδία»  δεν αποτελεί πρόβλημα διότι τα θεμελιώδη πεδία δυνάμεων τα οποία γνωρίζουμε είναι όλα συντηρητικά.

 

Επί πλέον,  η Λαγκρανζιανή μπορεί να βρεθεί με τη χρήση γενικών επιχειρημάτων που βασίζονται στις συμμετρίες του φυσικού συστήματος.

Η Λαγκρανζιανή θεώρηση θα μας δώσει τη δυνατότητα να προβλέπουμε τις εξισώσεις κίνησης όταν αυτές δεν είναι γνωστές, και βασισμένοι στο παράδειγμα της Νευτώνειας Μηχανικής να οικοδομούμε φυσικές θεωρίες για φαινόμενα για τα οποία οι νόμοι μας είναι άγνωστοι.

Η δράση σε αυτή τη θεώρηση προκύπτει ως μια ποσότητα εξέχουσας φυσικής σημασίας.

Τέλος είναι ιδιαίτερα σημαντικό ότι μέσω της έννοιας ΔΡΑΣΗ μπορεί να θεμελιωθεί η κβαντομηχανική με ένα ιδιαίτερα διαισθητικό και πρωτότυπο τρόπο με τη βοήθεια των path integrals (ολοκληρωμάτων διαδρομής) που εισήγαγαν ο Dirac και ο Feynman.