ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΗΝ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ MATHEMATICA
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΡΕΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο παρόν ηλεκτρονικό φύλλο εργασίας για τις «δυναμικές» αναπαραστάσεις,έχει γίνει χρήση της εντολής:
Do[έκφραση που περιέχει μία παράμετρο,{παράμετρος n,n1,n2,step}],
η οποία ισχύει στις παλαιότερες εκδόσεις του Mathematica (όπως οι εκδόσεις 4 και 5).
Αν χρησιμοποιείτε μία νεότερη έκδοση του Mathematica (όπως η έκδοση 10),τροποποιείστε την παραπάνω εντολή σε:
Manipulate[έκφραση που περιέχει μία παράμετρο,{παράμετρος n,n1,n2,step}].

    Από τη μέχρι τώρα γνώση μας για τις συναρτήσεις, έχει φανεί ότι είναι πολύ σημαντικό για τη σύνδεση των δύο μεταβλητών της συνάρτησης, να γνωρίζουμε την γραφική της παράσταση. 
	Όπως έχουμε δει στην Γ΄ Γυμνασίου, η πρωτοβάθμια συνάρτηση f(x)=αx+β έχει γραφική παράσταση μία ευθεία, σχήμα πολύ εύκολα κατασκευάσιμο, δεδομένου ότι αρκούν μόνο δύο σημεία.
	Στην περίπτωση μη πρωτοβαθμίων συναρτήσεων, όπου η γραφική παράσταση είναι καμπύλη, δεν είμαστε σε θέση να σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση με ακρίβεια. Μπορούμε όμως για παράδειγμα να μελετήσουμε την τάση που έχουν οι τιμές της συνάρτησης να «αυξάνονται» ή να «μειώνονται» καθώς αυξάνονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x και διάφορες άλλες ιδιότητες της συνάρτησης. 
	Για το λόγο αυτό χρειαζόμαστε τη διαδικασία που συνοπτικά ονομάζουμε «Μελέτη Συνάρτησης».
	Η προσέγγιση που ακολουθεί έχει ως στόχο να βοηθήσει τους μαθητευόμενους να κατασκευάσουν τη έννοια της συνάρτησης μέσω της μελέτης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (γεωμετρικά) και του πίνακα τιμών της συνάρτησης. 
	Τα θέματα που μελετάμε είναι: 
	1. Γραφική παράσταση συνάρτησης
	2. Πεδίο ορισμού - σύνολο τιμών συνάρτησης 
	3. Συμμετρίες συνάρτησης (άρτια και περιττή συνάρτηση)
	4. Μονοτονία συνάρτησης (γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση) και ακρότατα συνάρτησης (μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης) 
	5. Μελέτη των συναρτήσεων y = αx + β
	6. Μελέτη των συναρτήσεων y = α(x^2)+ βx + γ, α ≠ 0

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\)\)=(x^3) - 2  (x^2) - 8  x + 4:

f[x_] := (x^3) - 2*(x^2) - 8*x + 4

Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησηςγια x από -3 έως 3 με βήμα 1:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          f[x]}, {x, \(-3\), 3, 1}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "f(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση του πίνακα τιμών σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

ListPlot[
      Table[{x, f[x]}, {x, -3, 3, 
          1}], 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-20, 12, 2]}, 
      PlotRange -> {{-4, 4}, {-20, 12}}, 
      PlotStyle -> {AbsolutePointSize[5], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ g \((x)\)\)=3x - 2:

g[x_] := 3*x - 2

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων (x,y) της συνάρτησης για x από -4 έως 4 με βήμα 0.2, σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

ListPlot[
      Table[{x, g[x]}, {x, -4, 4, 
          0.2}], 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-20, 12, 2]}, 
      PlotRange -> {{-4, 4}, {-10, 10}}, 
      PlotStyle -> {AbsolutePointSize[5], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ h \((x)\)\)=3(x^2):

h[x_] := 3*(x^2)

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων (x,y) της συνάρτησης για x από -4 έως 4 με βήμα 0.1, σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

ListPlot[
      Table[{x, h[x]}, {x, -4, 4, 
          0.1}], 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-20, 12, 2]}, 
      PlotRange -> {{-4, 4}, {-10, 10}}, 
      PlotStyle -> {AbsolutePointSize[5], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ k \((x)\)\)=2(x^2) - 4  x - 3:

k[x_] := 2*(x^2) - 4*x - 3

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων (x,y) της συνάρτησης για x από -4 έως 4 με βήμα 0.1, σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

ListPlot[
      Table[{x, k[x]}, {x, -4, 4, 
          0.1}], 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-20, 12, 2]}, 
      PlotRange -> {{-4, 4}, {-10, 10}}, 
      PlotStyle -> {AbsolutePointSize[5], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ m \((x)\)\)=2(x^3):

m[x_] := 2*(x^3)

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων (x,y) της συνάρτησης για x από -4 έως 4 με βήμα 0.1, σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

ListPlot[
      Table[{x, m[x]}, {x, -4, 4, 
          0.1}], 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-20, 12, 2]}, 
      PlotRange -> {{-4, 4}, {-10, 10}}, 
      PlotStyle -> {AbsolutePointSize[5], RGBColor[1, 0, 0]}, 
      AxesLabel -> {"x", "y"}]

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \(\(\@\(\(\(2\)\(-\)\) | x | \) + 2  x + 1\)\(:\)\)\)

f[x_] := (Sqrt[2 - Abs[x]]) + 2*x + 1

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

k = 
      Plot[f[x], {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{-3, 3}, {-4, 6}}, 
        Ticks -> {Range[-3, 3, 1], Range[-4, 6, 1]}]

Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), μπορούμε να εντοπίσουμε το πεδίο ορισμού Df  της συνάρτησης, θεωρώντας την προβολή των σημείων της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης y = f(x) στον άξονα x΄x.

Do[Show[k, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.015], Line[{{0, f[x]}, {x, f[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.015], Line[{{x, 0}, {x, f[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.02], Line[{{-2, 0}, {x, 0}}]}], 
        Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"f(x)", f[x]}}, 
            TableAlignments -> Center, 
            TableSpacing -> {0.2}]], {x, -2, 2, 0.2}]

Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης για x από -2 έως 2 με βήμα 0.5:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          f[x]}, {x, \(-2\), 2, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "f(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ g \((x)\) = \(\(\@\(\(\(3\)\(-\)\) | x | \) + \@\(\(|\)\(x\)\(|\)\(-\ 1\)\) - 
          1\)\(:\)\)\)

g[x_] := (Sqrt[3 - Abs[x]]) + (Sqrt[Abs[x] - 1]) - 
        1

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

m = 
      Plot[g[x], {x, -4, 4}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.012]}, 
        AspectRatio -> 0.8, PlotRange -> {{-4, 4}, {-0.2, 1.5}}, 
        Ticks -> {Range[-4, 4, 1], {-1, 0, (Sqrt[2]) - 1, 
              1, (Sqrt[2])}}]

Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), μπορούμε να εντοπίσουμε το πεδίο ορισμού Df  της συνάρτησης, θεωρώντας την προβολή των σημείων της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης y = f(x) στον άξονα x΄x.

{Do[
        Show[m, Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], 
              Line[{{0, g[x]}, {x, g[x]}}]}], 
          Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], Line[{{x, 0}, {x, g[x]}}]}], 
          Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.015], 
              Line[{{-3, 0}, {x, 0}}]}], Axes -> True, 
          PlotLabel -> 
            TableForm[{{"x", x}, {"g(x)", g[x]}}, 
              TableAlignments -> Center, 
              TableSpacing -> {0.2}]], {x, -3, -1, 0.5}], 
      Do[Show[m, 
          Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], 
              Line[{{0, g[x]}, {x, g[x]}}]}], 
          Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], Line[{{x, 0}, {x, g[x]}}]}], 
          Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.015], Line[{{1, 0}, {x, 0}}]}], 
          Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.015], 
              Line[{{-3, 0}, {-1, 0}}]}], Axes -> True, 
          PlotLabel -> 
            TableForm[{{"x", x}, {"g(x)", g[x]}}, 
              TableAlignments -> Center, 
              TableSpacing -> {0.2}]], {x, 1, 3, 0.5}]}

Δημιουργούμε πίνακες τιμών της συνάρτησης για x από -3 έως -1 και για x από 1 έως 3 με βήμα 0.5:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          g[x]}, {x, \(-3\), \(-1\), 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "g(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, 
      TableDirections -> Row]\)
\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, g[x]}, {x, 1, 
          3, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "g(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Για να έχουμε μία συμμετρική γραφική παράσταση Cf ως προς άξονα y΄y είτε ως προς κέντρο Ο(0,0), θα πρέπει να έχουμε Πεδίο Ορισμού (Subscript[D, f]) συμμετρικό ως προς το 0.
Δηλαδή: Για κάθε x ∈ (Subscript[D, f]) , θα πρέπει -x ∈ (Subscript[D, f]).
	Μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν για κάθε x ∈ (Subscript[D, f]) , ισχύει f(-x) = f(x). Μία άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y΄y. 
	Μία συνάρτηση λέγεται περιττή αν για κάθε x ∈ (Subscript[D, f]) , ισχύει f(-x) = -f(x). Μία περιττή συνάρτηση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και θεωρούμε κάθε φορά το x, το -x, το f(x) και το f(-x). Αν για όλες τις τιμές του x, οι τιμές των f(-x) και f(x) είναι ίσες, η συνάρτηση είναι άρτια,ενώ αν οι τιμές των f(-x) και f(x) είναι αντίθετες, η συνάρτηση είναι περιττή.

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ 
      2 \(\( x\^3\)\(:\)\)\)

f[x_] := 2  (x^3)

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

k = 
      Plot[f[x], {x, -2, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, 
        PlotRange -> {{-2.5, 2.5}, {-20, 20}}]

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και θεωρούμε κάθε φορά το x, το -x, το f(x) και το f(-x):

Do[Show[k, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], Line[{{0, f[x]}, {x, f[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], Line[{{x, 0}, {x, f[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], 
            Line[{{0, f[-x]}, {-x, f[-x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], 
            Line[{{-x, 0}, {-x, f[-x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.012], 
            Line[{{x, f[x]}, {-x, f[-x]}}]}], Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"f(x)", 
                f[x]}, {"-x", -x}, {"f(-x)", f[-x]}}, 
            TableAlignments -> Center, 
            TableSpacing -> {0.2}]], {x, -1.9, 1.9, 0.2}]

Θεωρούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          f[x]}, {x, \(-2\), 2, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "f(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τις συμμετρίες της y = f(x);

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ g \((x)\) = \ 
      2 \(\( x\^4\)\(:\)\)\)

g[x_] := 2  (x^4)

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

m = 
      Plot[g[x], {x, -2.1, 2.1}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{-2.5, 2.5}, {-4, 34}}, 
        DefaultFont -> {"Times", 15}]

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και θεωρούμε κάθε φορά το x, το -x, το g(x) και το g(-x):

Do[Show[m, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], Line[{{0, g[x]}, {x, g[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], Line[{{x, 0}, {x, g[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.012], 
            Line[{{0, g[-x]}, {-x, g[-x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.012], 
            Line[{{-x, 0}, {-x, g[-x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[0.8], Thickness[0.012], 
            Line[{{x, g[x]}, {-x, g[-x]}}]}], Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"g(x)", 
                g[x]}, {"-x", -x}, {"g(-x)", g[-x]}}, 
            TableAlignments -> Center, 
            TableSpacing -> {0.2}]], {x, -2, 2, 0.1}]

Θεωρούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          g[x]}, {x, \(-2\), 2, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "g(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τις συμμετρίες της y = g(x);

Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), μπορούμε να διαπιστώσουμε  τη μονοτονία της. Συγκεκριμένα αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα έχει γραφική παράσταση που «ανεβαίνει» καθώς το x μεγαλώνει, ενώ αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα έχει γραφική παράσταση που «κατεβαίνει» καθώς το x μεγαλώνει.

Αν διατρέξουμε λοιπόν τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει, τότε αν το y = f(x) μεγαλώνει επίσης, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ενώ αν το y = f(x) μικραίνει, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Ως προς τα ακρότατα, το μέγιστο της συνάρτησης, εάν υπάρχει, θα είναι το υψηλότερο σημείο της γραφικής της παράστασης, ενώ το ελάχιστο, εάν υπάρχει, θα είναι το χαμηλότερο σημείο της.

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ \(\(2  x - 4\)\(:\)\)\)

f[x_] := 2  x - 4

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

k = 
      Plot[f[x], {x, -4, 5}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, 
        PlotRange -> {{-4, 5}, {-11, 5}}]

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = f(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:

Do[Show[k, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.015], Line[{{0, f[x]}, {x, f[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.015], Line[{{x, 0}, {x, f[x]}}]}], 
        Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"f(x)", f[x]}}, 
            TableAlignments -> Center, 
            TableSpacing -> {0.2}]], {x, -3, 4, 0.5}]

Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          f[x]}, {x, \(-3\), 4, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "f(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = f(x);

\(\(\(	\)\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ g \((x)\) = \ \(\(\(-3\) x + 
          2\)\(:\)\)\)\)\)

g[x_] := -3*x + 2

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

m = 
      Plot[g[x], {x, -4, 4}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, 
        PlotRange -> {{-5, 5}, {-11, 15}}]

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = g(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:

Do[Show[m, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.015], Line[{{0, g[x]}, {x, g[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.015], Line[{{x, 0}, {x, g[x]}}]}], 
        Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"g(x)", g[x]}}, 
            TableAlignments -> Center, 
            TableSpacing -> {0.2}]], {x, -4, 4, 0.5}]

Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          g[x]}, {x, \(-4\), 4, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "g(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = g(x);

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ h \((x)\) = \ \(\(x\^2 - 4  x + 5\)\(:\)\)\)

h[x_] := (x^2) - 4*x + 5

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

n = 
      Plot[h[x], {x, -1, 5}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{-1, 5}, {-1, 6}}]

Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = h(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:

Do[Show[n, 
        Graphics[{Hue[0.7], Thickness[0.015], Line[{{0, h[x]}, {x, h[x]}}]}], 
        Graphics[{Hue[1], Thickness[0.015], Line[{{x, 0}, {x, h[x]}}]}], 
        Axes -> True, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{"x", x}, {"h(x)", h[x]}}, 
            TableAlignments -> Center, TableSpacing -> {0.2}]], {x, 
        0, 4, 0.4}]

Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, h[x]}, {x, 0, 
          4, 0.4}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "g(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = h(x);

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ 
      x\^3 - 2  x\^2 + 2, \ με\ D\_f = \(\(\([\)\(\(-1\), 
        2\)\(]\)\)\(:\)\)\)

f[x_] := (x^3) - 2*(x^2) + 2

Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

p = 
      Plot[f[x], {x, -1, 2}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, 
        AspectRatio -> 1, PlotRange -> {{-2, 3}, {-2, 3}}]

Θεωρούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

\(TraditionalForm\`TableForm[
Table[{x, 
          f[x]}, {x, \(-1\), 2, 0.5}], 
      TableHeadings -> {None, 
{"x", "f(x)"}}, \ TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = f(x);

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ α\ \(\(x\)\(.\)\)\)

Kατασκευάzουμε ένα πίνακα τιμών για διάφορες τιμές του συντελεστή διεύθυνσης α, ειδικότερα για α = 0, 2, -2, 4, -4:

TableForm[
      Table[{x, 0*x, 2*x, -2*x, 4*x, -4*x}, {x, -4, 4, 1}], 
      TableHeadings -> {None, {"x", "0 x", "2 x", "-2 \
x", "4 x", "-4 x"}}, TableDirections -> Row, 
      TableAlignments -> Right]

Μπορούμε να μελετήσουμε τη μεταβολή του γραφήματος μιας συνάρτησης ανάλογα με τη μεταβολή των παραμέτρων με τη βοήθεια του προγράμματος. Ειδικότερα μπορούμε να σχεδιάσουμε πολλές γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο ίδιο γράφημα χρησιμοποιώντας διαφορετικά χρώματα ή αποχρώσεις του γκρί. 
	Σχεδιάζουμε τις συναρτήσεις f(x) = α x, για α = -4 (2) 4, όπως ακολουθεί:

Plot[
      Table[a*x, {a, -4, 4, 2}] // Evaluate, {x, -6, 
        6}, 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-6, 6, 2], Automatic}, 
      PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.3], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.8], Thickness[0.01]}}, 
      PlotRange -> {{-5, 6}, {-11, 11}}, 
      Epilog -> 
        Table[Text[
            TableForm[{{"α =", a}}, 
              TableSpacing -> {1}], {5 - 0.5  Abs[a], 
              2.5*a}], {a, -4, 4, 2}]]

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση f(x) = αx σχετικά:
	1) με τη μονοτονία; 
	
	
	2) τα ακρότατα;
	
	
	3) τις συμμετρίες;  
	
	
	4) τα σημεία τομής με τους άξονες;

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)= αx + β. 
	Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x)=-2 x + β, για β = -5 (1) 5 βήμα βήμα:

Do[
      Plot[{-2*x + b, -2*x} // Evaluate, {x, -4, 
          4}, 
AspectRatio -> 1,  
        Ticks -> {Range[-4, 4, 1], Range[-6, 6, 1]}, 
        PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0], 
              Thickness[0.01]}, {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.01]}}, 
        PlotRange -> {{-5, 4}, {-7, 7}}, 
        Epilog -> {Text[
              TableForm[
                If[b < 0,  {{"y = -2 x -", 
                      Abs[b]}} , {{"y = -2 x + ", b}}], 
                TableSpacing -> {1}], {2, -1 + b}],  
            Text[TableForm[{{"y = -2 x "}}, 
                TableSpacing -> {1}], {-3, 6}]  }], {b, -5, 5, 
        1}]

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση f(x) = αx + β σχετικά:
	1) με τη μονοτονία; 
	
	
	2) τα ακρότατα;
	
	
	3) τις συμμετρίες;  
	
	
	4) τα σημεία τομής με τους άξονες;

O συσχετισμός του συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας με την εφαπτομένη που σχηματίζει η γραφική παράσταση της ευθείας με τον άξονα x΄x μπορεί να γίνει με τη χρήση ενός animation το οποίο θα παρουσιάζει σημεία στη γραφική παράσταση της ευθείας και ταυτόχρονα τις προβολές στους δύο άξονες:

\(TraditionalForm\`Do[
      Plot[2*x, {x, \(-4\), 4}, 
AspectRatio -> 
          Automatic, Ticks -> {Range[\(-4\), 4, 1], Range[\(-8\), 8, 2]}, 
        PlotStyle -> {Thickness[0.015], RGBColor[0, 0, 1]}, 
        PlotRange -> {{\(-6\), 6}, {\(-9\), 9}}, 
        PlotLabel -> 
          TableForm[{{\*""εφω = Δ(y/Δ)x = "", \ \((f[t] - f[0])\)/\((t - 
                      0)\)}, {"Δy = ", 
                f[t] - f[0]}, {"Δx = ", \ t - 0}}, 
            TableSpacing -> {0, 0}, TableAlignments -> Center], \ 
        Epilog -> {{Hue[1], Thickness[0.015], 
              Line[{{t, 2*t}, {0, 2*t}}]}, 
{Hue[0.3], 
              Thickness[0.015], 
              Line[{{t, 2*t}, {t, 0}}]}, 
Disk[{t, 2*t}, 
              0.2]}], {t, \(-4\), 4, 1}]\)

\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ α\ \(\(x\^2\)\(.\)\)\)

Kατασκευάzουμε ένα πίνακα τιμών για διάφορες τιμές του συντελεστή διεύθυνσης α, ειδικότερα για α = 0, 2, -2, 4, -4:

Σχεδιάζουμε τις συναρτήσεις f(x) = α (x^2), για α = -2 (1) 2, όπως ακολουθεί:

Plot[
      Table[a*(x^2), {a, -2, 2, 1}] // Evaluate, {x, -6, 
        6}, 
AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[-6, 6, 2], Automatic}, 
      PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.3], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.8], Thickness[0.01]}}, 
      PlotRange -> {{-5, 6}, {-11, 11}}, 
      Epilog -> 
        Table[Text[
            TableForm[{{"α =", a}}, 
              TableSpacing -> {1}], {4 - 0.5  Abs[a], 
              2.5*a}], {a, -4, 4, 2}]]

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση f(x) = α(x^2) σχετικά:
	1) με την κορυφή; 
	
	
	2) με τη μονοτονία; 
	
	
	3) τα ακρότατα;
	
	
	4) τις συμμετρίες;  
	
	
	5) τα σημεία τομής με τους άξονες;

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)= α(x^2) + β. 
	Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x)=-2 (x^2) + β, για β = -3 (1) 3 βήμα βήμα:

\(TraditionalForm\`Do[
      Plot[{\(-2\)*x\^2 + b, \(-2\)*x\^2} // Evaluate, {x, \(-4\), 
          4}, 
AspectRatio -> 1, \ 
        Ticks -> {Range[\(-4\), 4, 1], Range[\(-7\), 5, 1]}, 
        PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0], 
              Thickness[0.01]}, {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.01]}}, 
        PlotRange -> {{\(-5\), 4}, {\(-8\), 5}}, 
        Epilog -> {Text[
              TableForm[
                If[b < 0, \ {{\*""y = -2 (x^2) -"", 
                      Abs[b]}}\ , {{\*""y = -2 (x^2) + "", b}}], 
                TableSpacing -> {1}], {2, \(-1\) + b}], \ 
            Text[TableForm[{{\*""y = -2 (x^2) ""}}, 
                TableSpacing -> {1}], {\(-2\), \(-2\)}]\ \ }], {b, \(-4\), 4, 1}]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση f(x) = α (x^2) + β σχετικά:
	1) με την κορυφή; 
	
	
	2) με τη μονοτονία; 
	
	
	3) τα ακρότατα;
	
	
	4) τις συμμετρίες;  
	
	
	5) τα σημεία τομής με τους άξονες;

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)= α(((x + κ))^2). 
	Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x)= 2 (((x +  κ))^2), για κ = -10 (2) 10 βήμα βήμα:

\(TraditionalForm\`Do[
      Plot[{2*\((x + k)\)\^2, 2*x\^2} // Evaluate, {x, \(-15\), 
          15}, 
AspectRatio -> 0.6, \ 
        Ticks -> {Range[\(-14\), 14, 2], Range[\(-3\), 15, 3]}, 
        PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0], 
              Thickness[0.01]}, {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.01]}}, 
        PlotRange -> {{\(-15\), 15}, {\(-3\), 15}}, 
        Epilog -> {Text[
              TableForm[
                If[k < 0, \ {{"y = 2 ( x  -", 
                      Abs[k], \*"")^2""}}\ , {{"y = 2 ( x  +", k, \*"")^2""}}], TableSpacing -> {1}], {\(-k\), 
                4}], \ Text[
              TableForm[{{\*""y = 2 (x^2) ""}}, 
                TableSpacing -> {1}], {\(-4\), 8}]\ \ }], {k, \(-10\), 
        10, 2}]\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση f(x) = α (((x + κ))^2) σχετικά:
	1) με την κορυφή; 
	
	
	2) με τη μονοτονία; 
	
	
	3) τα ακρότατα;
	
	
	4) τις συμμετρίες;  
	
	
	5) τα σημεία τομής με τους άξονες;

\(\(\(	\)\(\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ α\ x\^2 + β\ x\  + γ, \ με\ α\  ≠ 
        0. \)
	\(Γνωρίζουμε\ ότι\ f \((x)\) = \ \(α\ x\^2 + β\ x\  + γ\  = \ α \((x + β\/\(2  α\))\)\^2 - Δ\/\(4  α\)\), \ όπου\ α ≠ 
        0, \ Δ\  = \ β\^2 - 
          4 \( \(αγ\)\(.\)\)\)\)\)\)

\(\(\(	\)\(Θεωρούμε\ τη\ συνάρτηση\ f \((x)\) = \ \(\(\(-2\)\ x\^2 + 5\ x\  + 
          3\)\(:\)\)\)\)\)

f[x_] := -2 (x^2) + 8*x + 3

\(\(\(	\)\(Κάνουμε\ το\ μετασχηματισμό\ \ f \((x)\) = α \((x + κ)\)\^2 + λ, \ όπου\ κ = \(\(-\(β\/\(2  α\)\)\) και\ λ = \(\(-\(Δ\/\(4  α\)\)\)\ με\ Δ\  = \ β\^2 - 
            4 \( \(αγ\)\(.\)\)\)\)\)\)\)

a = -2; 
b = 8; 
c = 3; 
k = -(b/(2*a)); 
l = ((-((b^2) - 4*a*c))/(4*a)); 
k; 
l;

\(TraditionalForm\`TableForm[{{\*""f(x) = α(x^2)+βx+γ = "", \ a\ x\^2 + b\ x + c\ }, {"α =", 
          a}, {"β =", b}, {"γ =", 
          c}, {\*""κ = -(β/(2  α)) ="", 
          k}, {\*""λ = -(((β^2) - 4  αγ)/(4  α)) ="", 
          l}, {\*""f(x) = α(x+κ)^2+λ ="", \ a\ \((x + k)\)\^2 + l\ \ }}, TableAlignments -> Center, 
      TableDirections -> Column]\)

\(\(\(Plot[{a*x\^2, a*\((x + k)\)\^2, a*\((x + k)\)\^2 + l} // 
        Evaluate, {x, \(-6\), 6}, AspectRatio -> 1, 
      Ticks -> {Range[\(-12\), 12, 2], Automatic}, 
      PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.3], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.8], Thickness[0.01]}}, 
      PlotRange -> {{\(-12\), 12}, {\(-15\), 15}}, 
      Epilog -> {Text[
            TableForm[{{"y=", a, \*""\!\(x\^2\)""}}, 
              TableSpacing -> {1}], {\(-5\), 4*a}], 
          Text[TableForm[{{"y =", a, If[k < 0, "(x -", "(x +"], 
                  Abs[k], \*""\!\(\()\^2\)\)""}}, 
              TableSpacing -> {1}], {5 - k, 4*a}], 
          Text[TableForm[{{"y =", a, If[k < 0, "(x -", "(x +"], 
                  Abs[k], \*""\!\(\()\^2\)\)"", 
                  If[l < 0, "( -", " +"], Abs[l]}}, 
              TableSpacing -> {1}], {\(-5\) - k, 
              2*a + l}]}]\)\(\ \)\)\)

\(\(\(Plot[{a*x\^2, a*\((x + k)\)\^2, a*\((x + k)\)\^2 + l} // 
        Evaluate, {x, \(-6\), 6}, AspectRatio -> 0.8, 
      Ticks -> {Range[\(-15\), 15, 1], Range[\(-15\), 15, 1]}, 
      PlotRange -> {{\(-15\), 15}, {\(-15\), 15}}, 
      PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0.01]}, {Hue[0.3], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], Thickness[0.01]}, {Hue[0.7], 
            Thickness[0.01]}, {Hue[0.8], Thickness[0.01]}}, 
      PlotLabel -> 
        TableForm[{{"f(x) =", \*""α(x+κ)^2+λ""}, {"α =", a}, {"κ =", 
              k}, {"λ =", l}}, TableAlignments -> Center, 
          TableSpacing -> {0.2}]]\)\(\ \)\)\)

Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση \(f \((x)\) = \ \(α\ x\^2 + β\ x\  + γ\  = \ α \((x + β\/\(2  α\))\)\^2 - Δ\/\(4  α\)\)\), \(όπου\ α ≠ 
        0, \ Δ\  = \ β\^2 - 
          4 \( \(αγ\)\(.\)\)\)
	1) με την κορυφή; 
	
	
	2) με τη μονοτονία; 
	
	
	3) τα ακρότατα;
	
	
	4) τις συμμετρίες;  
	
	
	5) τα σημεία τομής με τους άξονες;

Βιβλιογραφία:
1) Κορρές Κ. (2003). Η χρήση του Η/Υ ως γνωστικού εργαλείου στη διδασκαλία των μαθηματικών. Πρακτικά του 20ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, με τίτλο «Η διαδρομή του παιδιού από την προσχολική ηλικία μέχρι την ενηλικίωση». Βέροια, 7 - 9 Νοεμβρίου 2003.
2) Kyriazis A. & Korres K. (2002). Teaching Linear Functions in Junior High School, with the use of Computers. Proceedings of the 3rd Hellenic Conference with International participation, of the Hellenic Scientific Association of Information & Communication Technologies in Education (ETPE). 
3) Κυριαζής Α. & Κορρές Κ. (2001). Θέματα Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Μελέτη θεμάτων με τη βοήθεια του Mathematica®. Σημειώσεις επιμόρφωσης στα πλαίσια του επιμορφωτικού προγράμματος ετήσιας διάρκειας, για τους εκπαιδευτικούς Μαθηματικούς», για το μάθημα «Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση», με διδάσκοντα τον κ. Α. Κυριαζή, Καθηγητή. Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών.