ΟμοιότητεςΟμοιότητες
Δύο σχήματα είναι όμοια αν το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Παράδειγμα δύο τετράγωνα είναι πάντα όμοια ενώ δύο ορθογώνια όχι, δύο κύκλοι είναι πάντα όμοιοι, δύο παραβολές είναι πάντα όμοιες ενώ δύο ελλείψεις ή υπερβολές δεν είναι υποχρεωτικά όμοιες. Ομοιότητα λοιπόν είναι στο επίπεδο ένας μετασχηματισμός που μεταφέρει σημεία Α, Β στα Α΄, Β΄ώστε Α΄Β΄= κΑΒ για κάθε Α, Β όπου κ σταθερός θετικός αριθμός. Με άλλα λόγια ομοιότητα είναι κάθε μετασχηματισμός του επιπέδου που διατηρεί τους λόγους ευθυγράμμων τμημάτων. Είναι φανερό ότι αν κ =1 έχουμε ισομετρία, συνεπώς οι ισομετρίες είναι μια υποομάδα των ομοιοτήτων.
Κοινές ιδιότητες όλων των ομοιοτήτων είναι:
Ομοιοθεσία
Μια ομοιοθεσία κέντρου Ο και λόγου κ, όπου το Ο είναι σταθερό σημείο και κ ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός είναι ο μετασχηματισμός που απεικονίζει το Ο στον εαυτό του και κάθε άλλο σημείο Α του επιπέδου, στο Α΄, ώστε το διάνυσμα ΟΑ΄ να είναι κ επί ΟΑ. Η απόλυτη τιμή του κ είναι ο λόγος ομοιότητας αν δούμε την ομοιοθεσία σαν ομοιότητα.
Πρόβλημα 1 ομοιοθεσία
Πρόβλημα 2 ομοιοθεσία
Αποδείξτε ότι το βαρύκεντρο G τριγώνου ΑΒΓ, το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου Ο, και το ορθόκεντρο του Η, είναι συνευθειακά με ΗG/GO = 2.
Πρόβλημα 3 ομοιοθεσία
Αποδείξτε ότι αν Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ τότε τα μέσα των ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ, τα ίχνη των υψών, και τα μέσα των πλευρών είναι σημεία ομοκυκλικά (κύκλος εννέα σημείων). Ακόμα ο κύκλος αυτός έχει ακτίνα ίση με το μισό του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.
