ΑντιστροφέςΑντιστροφή
Η αντιστροφή ως προς κύκλο (συχνά αναφέρετε και ως ανάκλαση ως προς κύκλο) είναι ο μετασχηματισμός ο οποίος αν δοθεί κύκλος (Ο, ρ) απεικονίζει τυχών σημείο Ρ του επιπέδου στο σημείο Ρ? της ημιευθείας ΟΡ ώστε ΟΡ ΟΡ΄= ρ2. (Το Ο απεικονίζεται στο επ? άπειρον σημείο.) Συχνά λέμε απλά αντιστροφή κέντρου Ο και εννοούμε σε κύκλο με κέντρο Ο. Η αντιστροφή αποδεικνύεται ότι υλοποιεί την ανάκλαση και συνεπώς κάθε ισομετρία στα μοντέλα της υπερβολικής γεωμετρίας. Πριν μιλήσουμε για τις ιδιότητές της να πούμε ότι ορίζουμε σαν γωνία κύκλου και ευθείας ή δύο κύκλων την γωνία μεταξύ εφαπτομένης και ευθείας στα σημεία τομής ή των δύο εφαπτομένων στο (στα) σημείο τομής. Είναι φανερό ότι αν έχουμε δύο σημεία τομής η γωνία είναι η ίδια. Θα λέμε συνεπώς ότι, δύο κύκλοι τέμνονται κάθετα (ή είναι ορθογώνιοι), αν οι εφαπτόμενές τους στα σημεία τομής είναι κάθετες. Επίσης μια ευθεία θα είναι κάθετη σε έναν κύκλο αν είναι διάμετρός του.
Πρόβλημα 1 αντιστροφή
Πρόβλημα 2 αντιστροφή
Έστω τέσσερις κύκλοι κέντρων Κ, Λ, Μ, Ν οι οποίοι ανά δύο εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία Α, Β, Γ ,Δ. Θα δείξουμε ότι ο τα Α,Β,Γ ,Δ είναι ομοκυκλικά.
Πρόβλημα 3 αντιστροφή
Η άρβηλος, ένα αρχαίο θεώρημα που διέσωσε ο Πάππος.
Έστω α, β ,C0 τρείς κύκλοι με κέντρα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία a και οι β, C0 εφάπτονται εξωτερικά και είναι εσωτερικά εφαπτόμενοι στον α. Θεωρούμε την ακολουθία κύκλων C0, C1, C2,, Cν καθένας από τους οποίους εφάπτεται εσωτερικά στον α και εξωτερικά στον β και στον προηγούμενο κύκλο της ακολουθίας εξωτερικά. Αν r0, r1, r2 , ,rν οι ακτίνες αυτών των κύκλων και δ0, δ1, δ2, ,δν οι αποστάσεις των κέντρων τους από την ευθεία a, θα δείξουμε ότι:
