Παλιά και Νέα Βιβλία

για

Παλιούς και Νέους Μαθηματικούς.

Θεωρία Συνόλων, Μαθηματική Λογική Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Georg Cantor 

 1845 - 1918 

Συμβολές στη Θεμελίωση της Θεωρίας των Υπερπεπερασμένων Αριθμών

Μετάφραση: Θάνος Χριστακόπουλος

ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1998

Στο βιβλίο αυτό περιέχονται δύο ομότιτλα άθρα που δημοσίευσε ο πρωτοπόρος Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor

το 1895 και το 1897 μαζί με μία πολύ κατατοπιστική εισαγωγή του Philip Jourdain η οποία γράφτηκε το 1915.

Στα δύο αυτά άρθρά ο Cantor αναπτύσσει τη θεωρία του για τους πληθαρίθμους των συνόλων καθώς και των

διατακτικών αριθμών δηλαδή την ταξινόμηση των συνόλων ανάλογα με το πλήθος των στοιχείων τους καθώς και την

ταξινόμηση των γραμμικώς διατεταγμένων συνόλων ανάλογα με το είδος της διάταξης τους.

Ο αναγνώστης έχει το προνόμιο να  δεί μερικές από τις πιο ρηξικέλευθες ιδέες των Μαθηματικών του 20ου αιώνα

σχεδόν "εν τω γεννάσθαι".

Νικόλαος Κριτικός

1894 -1984

Νικόλαος Σωτηράκης

1898 - 1974

Στοιχεία από τη Θεωρία των Συνόλων

Νικολάος Κριτικός, Νικόλαος Σωτηράκης

ΙΔΡΥΜΑ ΜΑΝΟΛΗ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙΔΗ, 1971

Ένα απλό και κατανοητό βιβλίο  γραμμένο από δύο πρωτεργάτες της αναμόρφωσης της διδασκαλίας των

Μαθηματικών στη χώρα μας. Περιλαμβάνει τα βασικά περί συνόλων, πράξεων, σχέσεων και συναρτήσεων με

χωριστό κεφάλαιο με εφαρμογές στη Γεωμετρία. Εξαιρετικά κατάλληλο για τη μετάβαση από το Λύκειο στο

Πανεπιστήμιο και μπορεί να διαβαστεί πριν από τις συστηματικές σπουδές Άλγεβρας και Ανάλυσης.

Erich Kamke

1890 - 1961

Θεωρία Συνόλων

Μετάφραση: Δημήτριος Γκιόκας Πρόλογος και Προσθήκες: Σπύρος Ζερβός

ΚΑΡΑΒΙΑΣ, 1962

Μία πολύ ωραία εισαγωγή στη θεωρία του Cantor που πρωτοεμφανίσθηκε το 1928 όταν πλέον η μαθηματική

κοινότητα είχε αρχίσει να περιφέρεται στον "Παράδεισο του Cantor". To έργο περιλαμβάνει τα περί πληθαρίθμων,

διατακτικών τύπων και διατακτικών αριθμών. Το έργο αυτό κυκλοφορεί στην αγγλική του μετάφραση

από τις εκδόσεις Dover και εξακολουθεί ακόμη να συγκεντρώνει την προτίμηση του αναγνωστικού κοινού.

Paul R. Halmos

1906 - 2006

Αφελής Συνολοθεωρία

Μετάφραση: Γιώργος Κολέτσος

ΕΚΚΡΕΜΕΣ 2002

To έργο αυτό κυκλοφόρησε τη δεκαετία του 60 με τον τίτλο "Naive Set Theory" και γενιές μαθηματικών

μυήθηκαν στα σύνολα από αυτό. Ο Halmos παρουσιάζει τα σύνολα αποφεύγοντας το βαρύ φορμαλισμό

χωρίς φυσικά να ενδίδει στην έλλειψη αυστηρότητας

Περιέχει τα βασικά και απαραίτητα σε μικρές ενότητες που βοηθούν τη μελέτη.

Και από πλευράς περιεχομένου αλλά και αισθητικής η Ελληνική έκδοση είναι πολύ ωραία.

Γιάννης Ν. Μοσχοβάκης

. 

Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία

ΝΕΦΕΛΗ 1993

Σύγχρονη Θεωρία Συνόλων από ένα διαπρεπή 'Ελληνα μαθηματικό. Το βιβλίο έχει 12 κεφάλαια και 2 προσαρτήματα.

Ο αναγνώστης γρήγορα εισάγεται στους πληθαρίθμους και μετά την απαραίτητη εξέταση του παραδόξου του Russell

γίνεται η διάκριση μεταξύ συνόλων και κλάσεων. Στη συνέχεια, μεταξύ άλλων, εξετάζονται σύνολα που έχουν κάποια

δομή (αλγεβρική, τοπολογική, διάταξης) και το αξίωμα της επιλογής με μερικές συνέπειες του, το αξιωματικό

σύστημα Zermelo-Fraenkel καθώς και μία πραγμάτευση του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Το βιβλίο είναι γραμμένο στο L_AT_EX  στη διαμόρφωση του οποίου έχει συμβάλλει και ο ίδιος ο συγγραφέας.

Υπάρχει και σε δωρεάν ηλεκτρονική έκδοση από την ιστοσελίδα του συγγραφέα:

http://www.math.ucla.edu/~ynm/lectures.htm

Διονύσιος Α. Αναπολιτάνος

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών

ΝΕΦΕΛΗ, 1985

To  έργο, έκτασης περίπου 300 σελίδων αποτελεί μία κατατοπιστική εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών.

Το πρώτο κεφάλαιο ξεκινά από τους Πυθαγόρειους και φθάνει ως τον Καντ και καταλαμβάνει περίπου το

μισό βιβλίο. Τα υπόλοιπα δύο κεφάλαια ασχολούνται με τις δραματικές εξελίξεις της Λογικής από το τέλος του 19ου

αιώνα έως περίπου το πρώτο μισό του 20ου. Για διευκόλυνση του αναγνώστη περιλαμβάνεται και μία

εισαγωγή στον προτασιακό λογισμό, την αξιωματική θεωρία συνόλων και τις πρωτοβάθμιες γλώσσες.

Αθ. Τζουβάρας

Στοιχεία Μαθηματικής Λογικης

ΕΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ 1998  (1986)

Ένα πλούσιο σε περιέχόμενα έργο στο οποίο ο αναγνώστης εκτός από τα βασικά (προτασιακός λογισμός και

πρωτοβάθμιες γλώσσες) έρχεται σε επαφή με τα μοντέλα, τις αναδρομικές συναρτήσεις, τις μηχανές Turing,  το

θεώρημα μη πληρότητας του Gödel, και τα, περιατέρω, αποτελέσματα των Rosser, Church. Tο βιβλίο στο τελευτάιο

κεφάλαιο (V) παρουσιάζει την αξιωματική θεωρία συνόλων και συναφή θέματα.

V.A. Uspenski

Για το Θεώρημα μη-πληρότητας του Gödel

Μετάφραση: Θάνος Χριστακόπουλος

ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1998

Πρόκειται για μετάφραση έργου που κυκλοφόρησε την δεκαετία του 80 στα Ρωσικά και το οποίο έγινε ευρύτερα

γνωστό από την Αγγλική του μετάφραση στη θαυμάσια σειρά Little Mathematics Library των σοβιετικών εκδόσεων Mir.

Το μεγάλο χάρισμα του βιβλίου είναι ότι μπορεί να κάνει προσιτό στον μέσο αναγνώστη (: απόφοιτο ή τελειόφοιτο

Λυκείου) που διαθέτει υπομονή και μαθηματική ανησυχία το μεγάλο επίτευγμα του Gödel δηλαδή την απόδειξη του

θεωρήματος μη πληρότητας σύμφωνα με το οποίο σε κάθε μαθηματικό σύστημα που περιέχει ένα επαρκές ποσό

αριθμητικής θα υπάρχει μία τουλάχιστον αληθής πρόταση που δε θα μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα.

Η αρχική απόδειξη του Gödel (το σχετικό άρθρο έχει εκδοθεί στην Αγγλική από τις εκδόσεις Dover αλλά μπορεί εύκολα

να βρεθεί και στο διαδίκτυο) ήταν αρκετά δύσκολη και προϋπέθετε εξοικείωση με την (τότε) τρέχουσα ορολογία της

λογικής. Αλλά και αργότερα που, ως συνήθως, η απόδειξη υπέστη απλουστεύσεις, η παρουσίαση της γίνονταν

μέσα σε εγχειρίδια τυπικής Λογικής και η κατανόηση της απαιτούσε αρκετές προκαταρκτικές γνώσεις.

Επομένως ήταν ευπρόσδεκτη μία απόδειξη χωρίς πολλά προαπαιτούμενα.

Η μονογραφία του Uspenski καλύπτει με αριστοτεχνικό τρόπο ακριβώς αυτό το κενό

  Ernest Nagel.

1901-1985

James Roy Newman

1907-1966

Το Θεώρημα του Gödel

Μετάφραση: Νίκος Γιαννακόπουλος, Επιστημονική Επιμέλεια: Μιχάλης Λάμπρου

ΤΡΟΧΑΛΙΑ 1991

'Ενα εξαιρετικό κλασικό έργο (εκδόθηκε το 1958 με τον τίτλο "Gödel's Proof") το οποίο μυεί

τον αναγνώστη στις βασικές ιδέες της απόδειξης του Gödel για το θεώρημα του της μη πληρότητας.

Τελιώνοντας το σύντομο αυτό βιβλίο (περίπου 100 σελίδες) ο αναγνώστης θα ενημέρωθεί για το τί απέδειξε

ο Gödel, πώς το απέδειξε, και ποιά είναι η σημασία του θεωρήματος του.

Branislav Boricic

Λογική και Απόδειξη.

Θεωρία-Ασκήσεις

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ 1995

Σύντομη και ουσιώδης εισαγωγή στη Λογική από τον Branislav Boricic, καθηγητή στο πανεπιστήμιο του Βελιγραδίου

ο οποίος διετέλεσε επισκέπτης καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Κρήτης. Περιέχει μία εισαγωγή

στον προτασιακό λογισμό στις πρωτοβάθμιες γλώσσες και στη θεωρία των αποδείξεων.

Α. Κ Κυριακόπουλος

Μαθηματική Λογική

μετά μεθόδων αποδείξεως εις τα Μαθηματικά

ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ 1977

Πρόκειται για ένα σπάνιας αξίας βιβλίο, συμβολή στην Ελληνική βιβλιογραφία από τον καθηγητή-συγγραφέα Αντώνη Κυριακόπουλο. Στις 190 πυκνογραμμένες σελίδες του ο αναγνώστης θα μάθει τα απαραίτητα για τον προτασιακό λογισμό και τον κατηγορικό λογισμό. 'Ενα σημαντικό χαρακτηριστικό του βιβλίου αποτελούν τα πολλά παραδείγματα από οικείους κλάδους των Μαθηματικών. Περιέχει ένα κεφάλαιο για την Άλγεβρα των διακοπτών και τελειώνει με ένα κεφάλαιο για τις μεθόδους αποδείξεων στα Μαθηματικά. Κάθε μαθηματικός, παλιός ή νέος θα βρεί κάτι που θα τον βοηθήσει στην δουλειά του. Χρήσιμο όχι μόνο στους μαθηματικούς αλλά και σε φυσικούς, ηλεκτρολόγους, πληροφορικούς.

Σπύρος Κλ. Καπελλίδης

Σημειώσεις στη Θεωρία Συνόλων

ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2012

Ο Hilbert στο άρθρο του "Για το Άπειρο" που δημοσιεύθηκε το 1926 (υπάρχει Ελληνική μετάφραση από τον Μ. Κωνσταντινίδη που εκδόθηκε το 1998 από τις εκδόσεις Τροχαλία) έγραψε (σ. 35) προφητικά:

Κανείς δεν θα μπορέσει να μας απομακρύνει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας.

Ο Σπύρος Καπελλίδης στο βιβλίο του αναλαμβάνει με επιτυχία να μας ξεναγήσει σε αυτό τον παράδεισο.

  Πράξεις συνόλων, απεικονίσεις, πληθάριθμοι, διατακτικοί αριθμοί είναι όλα εδώ. Στις περίπου 250 σελίδε του βιβλίου όλοι θα βρουν ενδιαφέροντα πράγματα.

Το βιβλίο που ευγενώς προσέφερε σε ηλεκτρονική μορφή ο συγγραφέας του μπορεί να βρεθεί  εδώ:

http://users.sch.gr/mavrogiannis/Capellides_Settheory.pdf

Γιώργος Πέρρος

Σύνολα και Αριθμοί

Μια περιήγηση στα θεμέλια των μαθηματικών

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2015

Το βιβλίο ξεκινάει με μία εισαγωγή στα σύνολα και την λογική και μετά προχωράει στις βασικές αλγεβρικές δομές. Παρουσιάζει με σαφήνεια όλο τον απαραίτητο εξοπλισμό: συναρτήσεις, σχέσεις, διάταξη, πληθαρίθμους, πράξεις έως ότου να φθάσει στους δακτύλιους και τα ιδεώδη τους. Στη συνέχεια κατασκευάζει σκαλοπάτι-σκαλοπάτι όλα τα βασικά αριθμητικά σύνολα μέχρις ότου να φθάσει στο σώμα των μιγαδικών αριθμών: Οι ακέραιοι κατασκευάζονται από τους φυσικούς, οι ρητοί από τους ακεραίους, οι πραγματικοί (το δύσκολο βήμα όπου υιοθετείται η προσέγγιση των ακολουθιών Cauchy) από τους ρητούς και τέλος οι μιγαδικοί από τους πραγματικούς με τον συνήθη τρόπο των διατεταγμένων ζευγών. 'Ολα αυτά στις 138 πρώτες σελίδες του βιβλίου. Πρόκειται για τις έννοιες που που είναι τελείως απαραίτητες για κάθε άλλη σπουδή των Μαθηματικών. 

Το βιβλίο τελειώνει με μία αξιωματική εισαγωγή στα Σύνολα που καταλαμβάνει περίπου 60 σελίδες.

Πρόκειται για ένα βιβλίο ιδιαίτερα χρήσιμο στους φοιτητές των Μαθηματικών αλλά και στους επαγγελματίες μαθηματικούς.

Ο συγγραφέας ευγενώς πρoσφέρει το βιβλίο του σε ηλεκτρονική μορφή:

http://users.sch.gr/mavrogiannis/Perros_Sets and numbers.pdf