ΤΑΞΗ Γ΄ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΜΑ
I
Δίνεται η συνάρτηση
f : (0,+)R η οποία είναι γνησίως
αύξουσα
και δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο
ορισμού της.
Αν f(1)=0 και f(f ΄(x))+f(x)=0 για x>0 να δείξετε ότι:
(i)
f
΄(1)=1.
(ii)
(f
΄f
΄)(x)=x,
x>0.
(iii)
xf΄΄ (x) +f ΄(x)=0, x>0
Επίσης να βρεθεί ο τύπος της
f.
ΘΕΜΑ
II
Να βρεθούν οι πραγματικοί
αριθμοί α,β,γ αν ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις (1) και
(α-α2--β)2 + (2γ-α)2=0 (2). Για τις τιμές αυτές των α,β,γ που θα βρείτε να δείξετε ότι
το πολυώνυμο
P(x)=2αx5 – (1-γ)x +β+1 έχει ακριβώς μια ρίζα
ρ(0,1).