Η παράσταση των αριθμών με τελείες

Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του (οι Πυθαγόρειοι) μελέτησαν συστηματικά τους ακέραιους αριθμούς. Σε αυτές τους τις μελέτες συνήθιζαν να απεικονίζουν τους αριθμούς με τελείες (χαλίκια). Έτσι, για τον αριθμό 1 έβαζαν μια τελεία, για τον αριθμό 2 έβαζαν δύο τελείες, για τον αριθμό 3 έβαζαν τρεις τελείες κ.λ.π.

Θα μπορούσε να σκεφτεί κάποιος ότι αυτός ο τρόπος απεικόνισης των αριθμών δεν είναι ιδιαίτερα ευφυής αφού είναι δύσκολο να γράψουμε αριθμούς όπως το 100 ή το 1000. Ακόμα και η εκτέλεση των αριθμητικών πράξεων είναι αρκετά δυσχερής.

Ο Πυθαγόρας όμως δεν νοιαζόταν να κάνει αριθμητικούς υπολογισμούς. Άλλωστε αιώνες πριν τον Πυθαγόρα είχε αναπτυχθεί το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που επιτρέπει να γράφουμε μεγάλους αριθμούς και να κάνουμε εύκολα πράξεις.

Αυτό που ενδιέφερε τον Πυθαγόρα ήταν να ανακαλύψει ιδιότητες των αριθμών και η σκέψη να απεικονίζει τους αριθμούς με τελείες είναι πραγματικά ευφυής γιατί μπορούμε να δούμε τους αριθμούς σαν σχήματα.

Έτσι, έχουμε τρίγωνους αριθμούς

τετράγωνους αριθμούς

πεντάγωνους αριθμούς

κλπ.

Για να καταδείξουμε την αξία της σχηματικής απεικόνισης των αριθμών θα παρουσιάσουμε 2 παραδείγματα.

1ο Παράδειγμα (Υπολογισμός του αθροίσματος διαδοχικών ακέραιων)

Θα υπολογίσουμε το άθροισμα 1+2+3+4+5 χρησιμοποιώντας τη σχηματική παράσταση των αριθμών. Με την μέθοδο που θα περιγράψουμε μπορούμε να υπολογίσουμε τα αθροίσματα 

                                             1+2,

                                             1+2+3,

                                             1+2+3+4, …

Το άθροισμα 1+2+3+4+5 με τελείες παίρνει τη μορφή τριγώνου.

Υπολογισμός του αθροίσματος σημαίνει να μετρήσουμε πόσες τελείες έχει το τρίγωνο. Αν αντιστρέψουμε το σχήμα έχουμε

Τώρα αν ενώσουμε τα δύο τρίγωνα προκύπτει ένα ορθογώνιο που έχει το διπλάσιο αριθμό τελείων από το κάθε τρίγωνο. Στο ορθογώνιο έχουμε το πλεονέκτημα ότι μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα το πλήθος των τελειών μετρώντας μόνο το μήκος και το πλάτος.

Υπάρχουν δηλαδή 5 Χ 6 = 30 τελείες. Συνεπώς, το τρίγωνο έχει 30 : 2 = 15 τελείες. Υπολογίσαμε λοιπόν ότι 1+2+3+4+5 = 15.

Ας δούμε τώρα ένα πιο εντυπωσιακό άθροισμα. Να υπολογίσουμε το 1+2+3+4+5+…+100. Το άθροισμα αυτό μπορεί να παρασταθεί με τελείες ως ένα ορθογώνιο τρίγωνο με 100 τελείες στην κάθε κάθετη πλευρά του. Ακολουθώντας την παραπάνω μέθοδο ενώνουμε δυο ίδια τρίγωνα για να σχηματίσουμε ένα ορθογώνιο που έχει 100 τελείες στο μήκος και 101 στο πλάτος.

Κάνοντας πράξεις όπως πριν βρίσκουμε 100 Χ 101 = 10100 και 10100 : 2 = 5050.

Δηλαδή, 1+2+3+4+5+…+100 = 5050.

2ο Παράδειγμα (Υπολογισμός του αθροίσματος διαδοχικών περιττών αριθμών)

Αν υπολογίσουμε τα αθροίσματα διαδοχικών περιττών αριθμών διαπιστώνουμε ότι το αποτέλεσμα είναι πάντα το τετράγωνο κάποιου ακέραιου αριθμού.

Με τη γεωμετρική παράσταση των αριθμών είναι εύκολο να εξηγήσουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.