Αρχική

Μονοκονδυλιές

 

 

Ένα σχήμα λέγεται μονοκονδυλιά αν μπορεί να σχεδιαστεί με τους παρακάτω περιορισμούς:

1. δεν σηκώνουμε το μολύβι από το χαρτί

2. δεν σχεδιάζουμε πάνω από μια γραμμή που έχουμε ήδη σχεδιάσει (οι γραμμές όμως επιτρέπεται να τέμνονται σε ένα σημείο).

Το παρακάτω σχήματα είναι όλα μονοκονδυλιές. Δοκιμάστε να τα σχεδιάσετε.

  

 

σχήμα 1

 σχήμα 2

 

  σχήμα 3

 

 

Υπάρχουν αρκετά σχήματα που δεν είναι μονοκονδυλιές παρόλο που φαίνονται αρκετά απλά. Έτσι για παράδειγμα τα σχήματα που ακολουθούν δεν είναι μονοκονδυλιές.

   

 

 

σχήμα 4

 σχήμα 5

 

  σχήμα 6

 

  

Δύο είναι τα ερωτήματα που πρέπει να δημιουργήθηκαν σε όσους προσπάθησαν να σχεδιάσουν τα παραπάνω σχήματα.

 

(A) Γιατί είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μονοκονδυλιά ορισμένα σχήματα; Ποιο είναι δηλαδή εκείνο το χαρακτηριστικό που έχουν τα σχήματα 4, 5 και 6 που μας δίνει τη βεβαιότητα ότι δεν είναι μονοκονδυλιές;

(B) Αν ένα σχήμα είναι μονοκονδυλιά τότε ποιο είναι το καταλληλότερο σημείο για να ξεκινήσουμε το σχεδιασμό του;

 

Με την ανάλυση που ακολουθεί θα απαντήσουμε ταυτόχρονα στα ερωτήματα (Α) και (Β).

 

Τα σημεία στα οποία διασταυρώνονται 2 γραμμές τα ονομάζουμε κόμβους. Στο σχήμα 1 έχουμε έξι κόμβους στους οποίους βάλαμε τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ.

 

 

 

 

 

 

  

Καθώς σχεδιάζουμε το σχήμα με μια γραμμή φτάνουμε σε κάποιο κόμβο και με μια άλλη γραμμή  φεύγουμε από τον κόμβο. Άρα σε κάθε κόμβο πρέπει να υπάρχει άρτιος αριθμός γραμμών που να συναντιούνται πάνω του. Σε αυτόν τον κανόνα υπάρχει μια εξαίρεση. Από το σημείο που ξεκινάμε σχεδιάζουμε μόνο μια γραμμή καθώς φεύγουμε. Το ίδιο συμβαίνει και με τον κόμβο στον οποίο καταλήγουμε. Έτσι μόνο σε δύο κόμβους επιτρέπεται να υπάρχει περιττό πλήθος γραμμών που να συναντιούνται πάνω του. 

 

Το πλήθος των γραμμών που συναντιούνται πάνω σε ένα κόμβο λέγεται βαθμός του κόμβου. Μπορούμε λοιπόν να συνοψίσουμε τα συμπεράσματα λέγοντας ότι:

 

 

 

Σε μια μονοκονδυλιά είτε όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό ή υπάρχουν δύο κόμβοι με περιττό βαθμό και όλοι οι άλλοι έχουν άρτιο βαθμό.

 

 

Στο σχήμα 1 ο κόμβος Α έχει βαθμό 2, οι κόμβοι Β, Γ και Ζ έχουν βαθμό 4, ενώ οι κόμβοι Δ και Ε έχουν βαθμό 3. Για να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε το σχήμα αυτό πρέπει να ξεκινήσουμε από το Δ και να καταλήξουμε στο Ε (ή το αντίστροφο).

 

Στο σχήμα 2 υπάρχουν 6 κόμβοι οι 4 έχουν άρτιο βαθμό και οι 2 περιττό. Θα πρέπει να ξεκινήσουμε και να καταλήξουμε στους δύο κόμβους με τον περιττό βαθμό.

 

Στο σχήμα 3 υπάρχουν 9 κόμβοι όμως όλοι έχουν άρτιο βαθμό. Μπορούμε να σχεδιάσουμε το σχήμα   ξεκινώντας από οποιοδήποτε κόμβο (αρκεί να ακολουθήσουμε το σωστό δρόμο).

 

Τα σχήματα 4, 5 και 6 έχουν 4 κόμβους με περιττό βαθμό. Είναι λοιπόν αδύνατο να σχεδιαστούν μονοκονδυλιά.

 

© Νίκος Φωτιάδης