Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο , τότε η f΄ είναι πάντα συνεχής στο .

Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο , τότε η f΄ είναι πάντοτε συνεχής στο .

( συνx )΄ = ημx , .;

Ισχύει ο τύπος , .

, xЄR-{ x/συνx = 0}.

, xЄR-{ x / ημx = 0}

Αν για κάθε x ≠ 0 , τότε για κάθε x ≠ 0 .

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο , τότε και η συνάρτηση f∙g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει .

Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f , g παραγωγίσιμες στο ισχύει .

Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες στο και , τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : .

Για κάθε συνεχή συνάρτηση f: [α,β] → R , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) , αν f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξЄ(α,β) έτσι ώστε f΄(ξ) = 0.

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε : .

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Aν η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει , τότε η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο .

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και ένα σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε : .

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ ,παραγωγίσιμη στο Δ και χωρίς να έχει τοπικά ακρότατα. Τότε είναι για κάθε x που ανήκει στο Δ.

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη , τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε , είναι σταθερή στο .

Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε ισχύει για κάθε x που ανήκει στο Δ .

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [α,β] ούτε παραγωγίσιμη στο (α,β) , τότε δεν υπάρχει αριθμός ξЄ(α,β) ώστε .

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν  f΄(x) < 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε f'(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x ενός διαστήματος Δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε
f΄(x) ≤ 0  σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ.

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν  f΄(x) ≥ 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, και η f΄ μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία του Δ , με το πρόσημό της να είναι θετικό μεταξύ των σημείων αυτών , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0 , τέτοιο ώστε για κάθε .

Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι μόνο τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται & τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν  f΄(x) < 0  στο  (α, )  και  f΄(x) > 0  στο ( , β), τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της f.

Έστω μία συνάρτηση f  συνεχής  σ' ένα διάστημα Δ και  παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ, τότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ.

Εποπτικά, μία συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη γραφική της παράσταση , για να διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα Δ πρέπει να στραφεί κατά τη αρνητική φορά.

Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σ' ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται "πάνω" από τη γραφική της παράσταση , με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Έστω μία συνάρτηση f  συνεχής  σ' ένα διάστημα Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Έστω μία συνάρτηση f  συνεχής  σ' ένα διάστημα Δ και 2 φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.Αν η f είναι κοίλη τότε ισχύει ότι f΄΄(x) <0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.

Έστω μία συνάρτηση f   παραγωγίσιμη  σ' ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του .
Αν: η f είναι κυρτή στο στο  (α, )  και κοίλη στο  ( ,β) , ή αντιστρόφως, και
η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο Α( , ),
τότε το σημείο  Α( , )  ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Αν το σημείο Α( , ) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f  είναι 2 φορές παραγωγίσιμη , τότε .

Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει , τότε το σημείο Α( , ) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f .

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχουν ασύμπτωτες.

Οι ρητές συναρτήσεις με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερου τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Αν η συνάρτηση f: R→R είναι παραγωγίσιμη με f ' (x) ≠ 0 για κάθε xЄR , τότε η συνάρτηση f είναι υποχρεωτικά 1-1.

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Αν η f έχει δύο ρίζες , τότε η f ' θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Αν f ' (x) ≠ 0 , τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα στο R.

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Τότε μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών της f ' βρίσκεται το πολύ μία ρίζα της f.

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R. Αν η f είναι άρτια, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξЄR , ώστε f ΄(ξ) = 0.

Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν ισχύει f ΄΄(x) ≠ 0 για κάθε xЄR , τότε η f έχει 3 ρίζες στο R.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει ξЄ(α,β) έτσι ώστε f ΄(ξ) = 0 , τότε f(α) = f(β).

Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο της f.

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R* . Aν ισχύει f ΄(x) = 0 για κάθε xЄR* , τότε η f είναι πάντα σταθερή στο R*.

Το θεώρημα Μέσης Τιμής γεωμετρικά σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ Є (α,β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ , όπου Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)).

Για να είναι το σημείο Α( , ) σημείο καμπής της , αρκεί η f ΄΄ να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του

Κάθε συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Δ που δεν είναι 1-1 εμφανιζει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο στο Δ.

H συνάρτηση , με αЄ R - Z , είναι παραγωγίσιμη στο R.

Aν το είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f και το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε υποχρεωτικά η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R και ότι η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx΄ . Αν υπάρχει κάποιο σημείο Α( , ) της γρ. παρ. της f , του οποίου η απόσταση από τον άξονα xx΄ είναι μέγιστη (ή ελάχιστη) , τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της γρ. παρ. της f είναι οριζόντια.