Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο , τότε η σύνθεσή τους g◦f είναι συνεχής στο .

Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β] , τότε η f παίρνει πάντα στο [α,β] μια μέγιστη τιμή.

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x ϵ Δ ή είναι αρνητική για κάθε x ϵ Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.

Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.

Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξЄ(α,β) ώστε f(ξ) = 0 , τότε κατ' ανάγκη f(β) > 0.

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και υπάρχει Є (α,β) τέτοιο ώστε , τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει f(α)f(β) < 0.

Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) , όπου και .

Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β] , τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Αν οι συναρτήσεις f και g δεν είναι συνεχείς στο , τότε και η συνάρτηση f+g δεν είναι συνεχής στο .

Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση, τότε μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης f(x) = 0 η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) ≠ f(β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ϵ (α, β) τέτοιος, ώστε .

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον και .

Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν :
α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή
β) Υπάρχει το όριό της στο , αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, , στο σημείο .

΄Εστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο , όταν .

Αν μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f(α) , f(β) , τότε αναγκαστικά παίρνει όλες τις ενδιάμεσες τιμές στο διάστημα [f(α) , f(β)] ή [f(β) , f(α)] .

Αν μια συνεχής συνάρτηση f ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα και ισχύει , , τότε το σύνολο τιμών της είναι το R.

Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει f(1) + f(2) + f(3) = 0 , τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο R.

Aν μια συνάρτηση f : [α, β]→R είναι γνησίως φθίνουσα, τότε το σύνολο τιμών της f είναι κατ' ανάγκη το διάστημα [f(β), f(α)]

Αν για κάθε xЄR, τότε θα είναι f(x) = x για κάθε xЄR ή f(x) = - x για κάθε xЄR