Υπάρχουν πράγματι οι "Φανταστικοί αριθμοί";

Φανταστικός αριθμός είναι κάθε πολλαπλάσιο μιας ποσότητας που ονομάσθηκε i και ορίσθηκε από την ιδιότητά της να έχει τετράγωνο τον -1. Η ίδια αυτή ιδιότητα φαίνεται μυστηριώδης σε πολλούς ,καθώς είναι δύσκολο να φαντασθεί κανείς έναν αριθμό με αρνητικό τετράγωνο, κλίνουν λοιπόν στο να πιστέψουν πως ο αριθμός i δεν υπάρχει στην πραγματικότητα αλλά είναι μία βολική μαθηματική επινόηση.

Αλλά δεν είναι έτσι : Οι φανταστικοί αριθμοί όντως υπάρχουν. Παρά το όνομα που έχουν δεν είναι καθόλου φανταστικοί (Το όνομά τους χρονολογείται από την πρώτη εισαγωγή τους πριν γίνει πράγματι κατανοητή η ύπαρξή τους. Εκείνη την εποχή φαντάζονταν πώς θα ήταν να έχουν ένα σύστημα αριθμών που θα περιείχε τις τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών , εξ ου και το όνομα "φανταστικοί". Ενδεχομένως να έγινε γρήγορα αντιληπτό ότι ένα τέτοιο σύστημα αριθμών πράγματι υπάρχει, αλλά το όνομα – και όχι το μάτι – τους είχε βγει)

Πριν συζητήσουμε το γιατί οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν , είναι ίσως χρήσιμο να σταθούμε στο γιατί θέτουμε ένα τέτοιο ερώτημα. Γιατί είναι τόσο δύσκολο να δεχθούμε ότι μπορεί να υπάρχουν αριθμοί με αρνητικά τετράγωνα ή ότι έχει λύση η εξίσωσης x² + 1 = 0 . Πολλοί βέβαια θα άκουσαν τον εξάψαλμο όταν «έλυναν» την εξίσωση x² + 1 = 0 γράφοντας x =  1. Ίσως γι' αυτό.

Πρέπει πάντως πρώτα να συνδιαλαγεί κανείς με ό,τι φαίνεται να γεννά απορίες και σύγχυση, προτού κάνει το βήμα να αποδεχθεί την ύπαρξη των φανταστικών αριθμών. Αφού το κάνουμε αυτό θα μπορέσουμε να συνεχίσουμε για να δούμε γιατί υπάρχουν οι φανταστικοί και ποιους συσχετισμούς έχουν, πώς δηλαδή εντάσσονται στην όλη αντίληψή μας για τα μαθηματικά και σε τι είδους προβλήματα απαντούν . Ας εξετάσουμε λοιπόν μερικά ερωτήματα :

1. Γιατί η ύπαρξη των φανταστικών αριθμών δεν είναι τόσο παράδοξη όσο φαίνεται;

Φαίνεται δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι οι φανταστικοί θα μπορούσαν πράγματι να υπάρχουν. Το ζήτημα είναι τι εννοεί κανείς με τον όρο "ύπαρξη". Στα μαθηματικά το εάν μια έννοια υπάρχει ή όχι μπορεί να εξαρτάται από τα συμφραζόμενα εντός των οποίων τίθεται η ερώτηση. Μιλώντας για αριθμούς μπορεί κανείς να έχει μεγάλη ποικιλία συμφραζομένων στο μυαλό του. Ιδού μερικά , τα πιο συνηθισμένα:

• Οι φυσικοί αριθμοί . Είναι οι αριθμοί 1,2,3,... που είναι πιθανές απαντήσεις στην ερώτηση «πόσα;». Οι φυσικοί είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν το μέγεθος συνόλων

• Οι ακέραιοι αριθμοί. Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν όχι τα μεγέθη των συνόλων αλλά τα σχετικά μεγέθη δύο συνόλων. Απαντούν στην ερώτηση «πόσα παραπάνω από το Α έχει το Β;» Περιλαμβάνουν τους θετικούς (τα Α έχει παραπάνω από το Β) και τους αρνητικούς (το Β έχει παραπάνω από το Α)

• Οι ρητοί αριθμοί. Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν λόγους των μεγεθών των συνόλων. Διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι περιγράφουν ευθέως μεγέθη συνόλων: Λέγοντας «έφαγα τα της πίτας» δεν σημαίνει ότι το σύνολο των πραγμάτων που έφαγες έχει στοιχεία , αλλά εκφράζεις τον λόγο δύο ακεραίων ποσοτήτων: 3 , η ποσότητα των τετάρτων της πίτας που έφαγες , προς το 4 , τον αριθμό των τετάρτων της πίτας που όλα μαζί μας κάνουν μια ολόκληρη πίτα .

• Οι πραγματικοί αριθμοί . Είναι αφηρημένες έννοιες που περιγράφουν μέτρα συνεχών ποσοτήτων όπως το μήκος , το βάρος, η ποσότητα ενός υγρού κλπ. (Ας μη μας ξεγελάει το όνομά τους. Δεν είναι περισσότερο "πραγματικοί" με την συνηθισμένη έννοια της λέξης από οποιοδήποτε άλλο είδος αριθμών.)

Έννοιες που υπάρχουν σε ένα από αυτά τα συμφραζόμενα μπορεί να μην υπάρχουν στα άλλα. Η ερώτηση "υπάρχει αριθμός ανάμεσα στο 1 και στο 2;" έχει αρνητική απάντηση στην περίπτωση των φυσικών και των ακεραίων (δεν μπορούμε να φυτέψουμε περισσότερα από ένα και ταυτοχρόνως λιγότερα από δύο δέντρα) αλλά καταφατική στους ρητούς και στους πραγματικούς (μπορούμε κάλλιστα να φάμε 3 μισά της πίτας που ξεπερνούν τα δύο μισά που αποτελούν την 1 πίτα και υπολείπονται των τεσσάρων μισών που μας κάνουν δύο πίτες) . Αν και όταν βρισκόμαστε στο σύνολο των φυσικών ή των ακεραίων δεν υπάρχουν αριθμοί μεταξύ του 1 και του 2, δεν φαίνεται παράδοξο πώς τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν σε άλλα σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα μάλλον κανείς δεν δυσκολεύεται να αποδεχθεί την ύπαρξη του αριθμού . Γιατί τότε να είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι η έννοια του «αριθμού με τετράγωνο το -1» παρότι δεν υπάρχει σε κανένα από τα τέσσερα αριθμοσύνολα που αναφέραμε πιο πάνω , θα μπορούσε να υπάρχει σε ένα άλλο αριθμοσύνολο; Διότι συνήθως ξεχνάμε το γεγονός ότι έχουμε ήδη 4 διαφορετικές σημασίες της λέξης «αριθμός». Έχουμε τόσο εξοικειωθεί με αυτά τα αριθμοσύνολα που τα έχουμε συμψηφίσει στο μυαλό μας σαν να ήταν μία και μοναδική έννοια. Όταν συναντάμε την έννοια «αριθμός με τετράγωνο το -1» η οποία δεν υπάρχει σε κανένα από τα 4 αυτά αριθμοσύνολα, νομίζουμε ότι δεν μπορεί να υπάρξει πουθενά , διότι σκεφτόμαστε την λέξη «αριθμός» ως μία ενιαία έννοια που ενσωματώνει μόνο αυτές τις τέσσερις έννοιες : φυσικός – ακέραιος – ρητός – πραγματικός Θα έπρεπε μάλλον να σκεφτόμαστε ως εξής:

«Ωραία, ξέρω για τέσσερα αριθμητικά συστήματα: ένα στο οποίο «αριθμός» σημαίνει μέτρηση του πόσα στοιχεία έχει ένα σύνολο, ένα άλλο όπου «αριθμός» σημαίνει σχετική μέτρηση του μεγέθους δύο συνόλων, ένα τρίτο όπου «αριθμός» σημαίνει τον λόγο των μεγεθών δύο συνόλων, και ένα τέταρτο όπου «αριθμός» σημαίνει μέτρηση μιας συνεχούς ποσότητας. Σε κανένα από αυτά τα αριθμοσύνολα η έννοια «αριθμός με τετράγωνο το -1» δεν υπάρχει . Μήπως υπάρχει ένα πέμπτο αριθμοσύνολο, ένα σύστημα αριθμών ( όπου «αριθμός» σημαίνει κάτι διαφορετικό από τα προηγούμενα 4) στο οποίο υπάρχει όντως η τετραγωνική ρίζα του -1 ;»

Η απάντηση στην τελική αυτή ερώτηση είναι «ναι, υπάρχει». Ονομάζεται σύστημα των μιγαδικών αριθμών. Μάλιστα, παρά το ότι όπως αναμένεται θα επισυνάψει μια νέα σημασία στην λέξη αριθμός, διαφορετική από όσες έχουμε συνηθίσει , εντούτοις η διαφορά δεν είναι κατά βάθος μεγαλύτερη από την διαφορά μεταξύ των εννοιών «αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου» (φυσικός αριθμός) και «λόγος των μεγεθών δύο συνόλων» (ρητός αριθμός). Με άλλα λόγια όσο διαφέρουν τα κλάσματα από τους ακεραίους άλλο τόσο διαφέρουν οι μιγαδικοί από τους πραγματικούς.

2. Πώς μπορεί κανείς να δείξει ότι υπάρχουν πράγματι οι φανταστικοί αριθμοί;

Με τον ίδιο τρόπο που θα έδειχνε ότι και τα κλάσματα υπάρχουν. Ας δούμε τον τρόπο με τον οποίο δείχνουμε ότι υπάρχουν τα κλάσματα. Βέβαια αυτό το ξέρετε ήδη και δεν περιμένετε να σας το αποδείξει κάποιος μαθηματικός συλλογισμός . Το ενδιαφέρον όμως είναι ότι μπορεί κανείς να ακολουθήσει τον ίδιο ακριβώς δρόμο για να δείξει ότι και οι φανταστικοί υπάρχουν. Διαπιστώνοντας σε ένα οικείο αριθμοσύνολο ,όπως οι ακέραιοι και οι ρητοί , ότι η διαδικασία αυτή είναι λογικά ορθή και ότι «δουλεύει» θα φανεί πιο εύκολο να γίνει αποδεκτή και σε ένα ανοίκειο αριθμοσύνολο όπως οι φανταστικοί αριθμοί.

2.1 Επιχειρηματολογία για την ύπαρξη των κλασμάτων

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε μόνο τους φυσικούς και έχουμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός "τρία δεύτερα" υπάρχει. Να αποδείξουμε δηλαδή ότι υπάρχει κάποιος αριθμός ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίνει 3 . Θα έπρεπε να προχωρήσουμε ως εξής :

Βεβαίως, τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει ανάμεσα στους φυσικούς.

Είναι όμως ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών μέσα στο οποίο υπάρχει αριθμός σαν αυτόν που ζητάμε Το σύστημα των ρητών αριθμών.

Οι " αριθμοί " αυτού του νέου συστήματος αριθμών θα είναι τα κλάσματα, τα οποία είναι τελείως διαφορετικά αντικείμενα από τους φυσικούς αριθμούς ( δεν παριστάνουν μεγέθη συνόλων αλλά λόγους μεγεθών συνόλων) αλλά είναι το ίδιο πραγματικά με αυτούς.

• Υπάρχουν τα κλάσματα; Ναι .

• Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι.

• Μέσα σε αυτό το σύστημα υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 να δίνει 3; Ναι.

  Άρα τα "τρία δεύτερα" υπάρχουν.

2. Εγκυρότητα του επιχειρήματος

Για να δούμε γιατί οι απαντήσεις στα τρία παραπάνω ερωτήματα-κλειδιά είναι καταφατικές ας τα εξετάσουμε ένα – ένα από κοντά.

Υπάρχουν τα κλάσματα; Ναι . Είναι απλώς διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών. (Μένουμε στα θετικά κλάσματα για να κρατήσουμε τα πράγματα όσο πιο απλά γίνεται και για να αποφύγουμε την περιπλοκή του μηδενικού παρονομαστή). Προφανώς διατεταγμένα ζεύγη φυσικών υπάρχουν , άρα υπάρχουν και κλάσματα. Σημειώνουμε το ζεύγος (α , β) γράφοντας το πρώτο μέλος του ζεύγους πάνω από το δεύτερο: αντί (α,β) γράφουμε

Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Ένα σύστημα αριθμών είναι μια συλλογή αντικειμένων για την οποία :

• Υπάρχει ένας ορισμός για το τι σημαίνει δύο αντικείμενα να είναι ίσα

• Υπάρχουν κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μεταξύ των αντικειμένων αυτών (η αφαίρεση και η διαίρεση μπορούν να προκύψουν από αυτούς τους κανόνες με την προσθήκη αντιθέτων για όλα τα αντικείμενα και αντιστρόφων για μερικά από αυτά)

• Αυτοί οι κανόνες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν τις ιδιότητες της αριθμητικής : αντιμεταθετικότητα ( η σειρά των προσθετέων ή παραγόντων δεν παίζει ρόλο) προσεταιριστικότητα (σε διαδοχικές προσθέσεις ή πολλαπλασιασμούς δεν έχει σημασία η σειρά εκτέλεσης) και επιμεριστικότητα.

Χονδρικά κάθε συλλογή αντικειμένων με αυτές τις ιδιότητες είναι εξ ορισμού ένα σύστημα αριθμών.(Για να είμαστε αυστηροί θα χρειαζόταν λίγο πιο ακριβής ορισμός των ιδιοτήτων αλλά η δουλειά μας θα γίνει) Οι ιδιότητες αυτές ικανοποιούνται από τα κλάσματα :

Οι ιδιότητες εύκολα διαπιστώνεται ότι ικανοποιούνται από τους κανόνες αυτούς, άρα πράγματι το σύνολο των κλασμάτων είναι ένα σύστημα αριθμών.

Μέσα στο σύστημα αυτό υπάρχει αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίνει 3; Ναι. Το κλάσμα . Διπλασιαζόμενο δίνει το κλάσμα . Τώρα βέβαια το κλάσμα είναι κάτι διαφορετικό από τον φυσικό 3: είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος φυσικών και όχι ένας φυσικός. Αλλά όλα τα κλάσματα της μορφής συμπεριφέρονται κατά τρόπο πανομοιότυπο με τους φυσικούς α. Προστίθενται και πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και οι αντίστοιχοι φυσικοί:το /1 απλώς παρίσταται. Εφόσον οι αριθμοί είναι τελικά αφηρημένες έννοιες και εφόσον οι φυσικοί αριθμοί α και τα κλάσματα της μορφής είναι εντελώς ταυτόσημα όσο αφορά την αριθμητική τους συμπεριφορά, είναι απολύτως νόμιμο να τα βλέπουμε απλώς ως δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας υποκειμένης έννοιας. Έχοντας αυτό υπ' όψιν μπορούμε να θεωρούμε το κλάσμα (τον λόγο 3 προς 1) και το φυσικό αριθμό 3 ως το ίδιο πράγμα, και αυτό το τελευταίο μας δίνει το δικαίωμα να λέμε ότι το διπλασιαζόμενο δίνει 3.

Εδώ ολοκληρώνεται το επιχείρημα για την ύπαρξη του . Βέβαια αυτό ήταν ήδη γνωστό σε όλους όσοι έλαβαν στοιχειώδη έστω , παιδεία. Η αξία του επιχειρήματος όπως εκτέθηκε , είναι πώς μπορεί να μεταφερθεί στην περίπτωση των φανταστικών και να αποδείξει την ύπαρξή τους. Το επιχείρημα ότι οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν θα ακολουθήσει , σχεδόν λέξη προς λέξη όμοιο με το προηγούμενο επιχείρημα πως τα κλάσματα υπάρχουν. Εάν το επιχείρημα είναι όπως δείξαμε έγκυρο θα μας οδηγήσει με πειστικότερο τρόπο στην αποδοχή των φανταστικών αριθμών.

2.3 Επιχειρηματολογία για την ύπαρξη των φανταστικών

Θα ακολουθήσουμε κατά πόδας την προηγούμενη επιχειρηματολογία για τα κλάσματα. Θα ήταν ίσως χρήσιμο να τις αντιπαρέβαλε κανείς δίπλα – δίπλα . Το ζήτημα είναι η ύπαρξη της μυστηριώδους ποσότητας i μια και οι φανταστικοί είναι απλώς πολλαπλάσιά της. Με αλλά λόγια ζητάμε να δούμε ότι υπάρχει κάποιος αριθμός που το τετράγωνό του δίνει -1. Ιδού το επιχείρημα:

Βεβαίως, τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει μέσα σε κανένα από τα 4 συνήθη συστήματα αριθμών(Φυσικοί , Ακέραιοι , Ρητοί , Πραγματικοί.)

Είναι όμως ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών μέσα στο οποίο υπάρχει αριθμός σαν αυτόν που ζητάμε : Το σύστημα των μιγαδικών αριθμών.

Οι "αριθμοί " αυτού του νέου συστήματος αριθμών είναι τελείως διαφορετικά αντικείμενα από τους συνήθεις πραγματικούς αριθμούς ( θα ορισθούν ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών) αλλά είναι το ίδιο πραγματικά με αυτούς.

• Υπάρχουν οι μιγαδικοί; Ναι .

• Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών; Ναι.

• Μέσα σε αυτό το σύστημα υπάρχει αριθμός που έχει τετράγωνο το -1; Ναι.

  Άρα ο i υπάρχει.

2.4 Εγκυρότητα του επιχειρήματος

Για να δούμε γιατί οι απαντήσεις στα τρία παραπάνω ερωτήματα-κλειδιά είναι καταφατικές ας τα εξετάσουμε ένα – ένα από κοντά.

Υπάρχουν οι μιγαδικοί αριθμοί; Ναι . Είναι απλώς διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί όντως υπάρχουν άρα και τα διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών όντως υπάρχουν.

Αποτελούν πράγματι ένα σύστημα αριθμών; Ναι. Αρκεί να θυμηθούμε ότι κάθε συλλογή αντικειμένων για την οποία :

• Υπάρχει ένας ορισμός για το τι είναι τα αντικείμενα και πότε δύο αντικείμενα είναι ίσα

• Υπάρχουν κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μεταξύ των αντικειμένων αυτών

• Αυτοί οι κανόνες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν τις ιδιότητες της αριθμητικής : αντιμεταθετικότητα προσεταιριστικότητα και επιμεριστικότητα

είναι εξ ορισμού ένα σύστημα αριθμών. Οι μιγαδικοί ικανοποιούν τις ιδιότητες αυτές :

• Ισότητα: Δύο μιγαδικοί θα είναι ίσοι εάν και μόνο εάν είναι ακριβώς το ίδιο διατεταγμένο ζεύγος : (α , β) = (γ , δ)  {α = γ και β = δ }

• Κανόνας για πρόσθεση: (α , β) + (γ , δ) = (α+γ , β+δ)

• Κανόνας για πολλαπλασιασμό : (α , β)(γ , δ) = ( αγ-βδ , αδ+βγ).

Ο τελευταίος αυτός κανόνας ίσως φαίνεται πολύ παράξενος αλλά φαντασθείτε πώς θα φαινόταν ο ορισμός της πρόσθεσης των κλασμάτων όπως τον δώσαμε προηγουμένως σε κάποιον που θα έπεφτε απάνω του χωρίς να ξέρει τίποτα για ομώνυμα κλάσματα

Οι ιδιότητες εύκολα διαπιστώνεται ότι ικανοποιούνται από τους κανόνες αυτούς, άρα πράγματι το σύνολο των κλασμάτων είναι ένα σύστημα αριθμών.

Μέσα στο σύστημα αυτό υπάρχει αριθμός που έχει τετράγωνο το -1; Ναι.

Το διατεταγμένο ζεύγος (0 , 1). Τετραγωνιζόμενο δίνει :

(0 , 1)(0 , 1) = (00 – 11 , 01 + 01) = = (-1 , 0).

Τώρα βέβαια ο μιγαδικός (-1 , 0) είναι κάτι διαφορετικό από τον πραγματικό -1: είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών και όχι ένας πραγματικός. Αλλά όλοι οι μιγαδικοί της μορφής (α , 0) συμπεριφέρονται κατά τρόπο πανομοιότυπο με τους πραγματικούς α. Προστίθενται και πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και οι αντίστοιχοι πραγματικοί:

(α ,0)+(β , 0) = (α+β , 0)

(α ,0)(β , 0) = (αβ , 0)

Το « ,0) » απλώς παρίσταται. Εφόσον οι αριθμοί είναι τελικά αφηρημένες έννοιες και εφόσον οι πραγματικοί αριθμοί α και οι μιγαδικοί της μορφής (α , 0) είναι εντελώς ταυτόσημοι όσο αφορά την αριθμητική τους συμπεριφορά , είναι απολύτως νόμιμο να τα βλέπουμε απλώς ως δύο διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας υποκειμένης έννοιας. Έχοντας αυτό υπ' όψιν μπορούμε να θεωρούμε τον μιγαδικό (-1 , 0) και τον πραγματικό αριθμό -1 ως το ίδιο πράγμα, και αυτό το τελευταίο μας δίνει το δικαίωμα να λέμε ότι ο (0 , 1) τετραγωνιζόμενος δίνει -1.

Επομένως ο i υπάρχει είναι δε το διατεταγμένο ζεύγος (0 , 1) υπό τους κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού που ορίσαμε προηγουμένως .

Τι σχέση έχουν οι φανταστικοί αριθμοί με την «πραγματικότητα» ;

Μέχρι εδώ καλά. Είδαμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί υπάρχουν . Υπάρχουν όμως σε ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών από τα αριθμητικά συστήματα με τα οποία είμαστε εξοικειωμένοι. Οι «μιγαδικοί αριθμοί» που αποτελούν αυτό το σύστημα αριθμών είναι διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών, μπορούν να λέγονται λοιπόν αριθμοί από μόνοι τους;

Κατ' αρχήν ας θυμηθούμε τα κλάσματα : και αυτά ήταν διατεταγμένα ζεύγη αριθμών. Και ως προς αυτά δεν γεννάται ζήτημα εάν από μόνα τους θα μπορούσαν να χαρακτηρίζονται αριθμοί , μια και μπορούν να μετρούν το «πόσο» σε ορισμένα συμφραζόμενα (όπως πχ. έφαγα τα 3 τέταρτα της πίτας). Έτσι το δικαίωμα των κλασμάτων να θεωρούνται αριθμοί παρά το ότι είναι διατεταγμένα ζεύγη αριθμών είναι αυτονόητο.

Το γεγονός όμως είναι ότι οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν πολύ λιγότερους άμεσους συσχετισμούς με τον «πραγματικό κόσμο» από τους αριθμούς των άλλων αριθμητικών συστημάτων. Ένας φανταστικός αριθμός δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την μέτρηση του πόσο νερό έχει το μπουκάλι ή πόσο μακριά πήγε η πέτρα που πέταξα. Υπάρχουν όμως μερικές ποσότητες που περιγράφονται κατά φυσικό τρόπο από τους μιγαδικούς αριθμούς. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η ένταση ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Το πεδίο έχει μία μαγνητική και μία ηλεκτρική συνιστώσα και σε κάθε σημείο του αντιστοιχούν δύο πραγματικοί αριθμοί (ένας για την ένταση του ηλεκτρικού και ένας για την επαγωγή (=ένταση) του μαγνητικού πεδίου). Το ζεύγος αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μιγαδικός και μάλιστα ο περίεργος κανόνας του πολλαπλασιασμού συσχετίζεται με φυσικές ιδιότητες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Παρότι όμως οι άμεσες εφαρμογές των μιγαδικών αριθμών δεν είναι πολλές , οι έμμεσες εφαρμογές τους είναι πολλές.

Πολλές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών ξεκαθαρίζονται εάν θεωρηθούν ως υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών. Οι μιγαδικοί ρίχνουν φως σε πράγματα τα οποία περιγράφονται με τους συνήθεις πραγματικούς αριθμούς. Για παράδειγμα η ανίσωση |z| < 2 στο σύνολο των μιγαδικών είναι τα εσωτερικά σημεία ενός κύκλου, ενώ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τα εσωτερικά σημεία ενός ευθυγράμμου τμήματος. Αυτή η συσχέτιση μας επιτρέπει να υποψιαστούμε ότι τελικώς δύο φαινομενικά διαφορετικές έννοιες όπως τις μάθαμε στην γεωμετρία μπορούν να έχουν κοινές ιδιότητες , να είναι δηλαδή ειδικές περιπτώσεις μιας γενικότερης έννοιας . Και πράγματι τέτοιου είδους σύνολα όπως αυτά που περιγράφει η ανίσωση |z| < 2 λέγονται ανοικτές σφαίρες και παίζουν κεντρικό ρόλο στην Τοπολογία .

Η περίπτωση της σχέσης των πραγματικών με τους μιγαδικούς είναι πιο στενή : Μοιάζει με την σχέση της σκιάς προς το αντικείμενο. Η σκιά υπάρχει στον δισδιάστατο κόσμο και μόνο δισδιάστατες έννοιες μπορούν να έχουν άμεση εφαρμογή στην σκιά. Όμως σκεφτόμενοι το τρισδιάστατο αντικείμενο που ρίχνει την σκιά μπορούμε να ερμηνεύσουμε με καλύτερα το σχήμα της παρά το ότι τρισδιάστατες έννοιες δεν έχουν άμεση εφαρμογή στον δισδιάστατο κόσμο της σκιάς. Παρομοίως οι μιγαδικοί μπορεί να μην εφαρμόζονται αμέσως στις μετρήσεις του "πραγματικού κόσμου" όπου τον λόγο έχουν οι πραγματικοί αριθμοί αλλά μπορούν να κάνουν τα πράγματα εναργέστερα . Άλλη μία αναλογία :

Το χωριό Α έχει 250 κατοίκους εκ των οποίων 50 παιδιά

Το χωριό Β έχει 1250 κατοίκους εκ των οποίων 200 παιδιά.

Στο χωριό Α επομένως η αναλογία παιδιών προς τον συνολικό πληθυσμό είναι 50/250 = 0,2 ενώ στο χωριό Β είναι 200/1250 = 0,16, άρα το χωριό

Α έχει νεανικότερο πληθυσμό από το Β.

Αυτός ο συλλογισμός χρησιμοποίησε κλάσματα σε ένα πρόβλημα με το οποίο τα κλάσματα δεν θα έβρισκαν φυσικό συσχετισμό. Δεν έχει νόημα η έκφραση «άνθρωποι». Οι φυσικοί είναι οι αριθμοί που έχουν φυσικό συσχετισμό με τέτοιου είδους συμφραζόμενα και τα κλάσματα είναι κάτι ξένο , όπως κάτι ξένο προς τις μετρήσεις των πραγματικών αποτελούν και οι μιγαδικοί. Εντούτοις ευρισκόμενοι στο υπερσύνολο των ρητών αριθμών μπορέσαμε να συναγάγουμε μία ενδιαφέρουσα πληροφορία για τους πληθυσμούς των δύο χωριών παρά το ότι οι μετρήσεις στον κόσμο των πληθυσμών μπορούν να συσχετισθούν μόνο με τους φυσικούς αριθμούς.

Κατά τον ίδιο τρόπο σκεπτόμενοι στο υπερσύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορούμε να συναγάγουμε συμπεράσματα για τον πραγματικό κόσμο ακόμη κι αν οι μετρήσεις του πραγματικού κόσμου συσχετίζονται μόνο με πραγματικούς αριθμούς: Ιδού 2 παραδείγματα :

Παραγοντοποιείται το πολυώνυμο x⁴ + 1 ;

Το πολυώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα. Εάν όμως το θεωρήσουμε ως πολυώνυμο του έχει τέσσερις και γράφουμε

Στις εφαρμογές της μηχανικής συχνά εμφανίζονται (διαφορικές) εξισώσεις ( y είναι μία άγνωστη πραγματική συνάρτηση ) της μορφής αy΄΄ + βy΄ + γy = 0. Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση έχει λύσεις που μπορεί να υπολογισθούν εάν επιλυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση αx² + βx + γ = 0. Στο σύνολο των πραγματικών όμως η τελευταία δεν έχει πάντοτε λύσεις ενώ έχει σίγουρα δύο (ή μία διπλή) στο σύνολο των μιγαδικών. Να λοιπόν άλλη μία κατάσταση που οι μιγαδικοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ένα πρόβλημα πραγματικών αριθμών. Δεν είναι όντως μία καλή ιδέα να δούμε το σύνολο των μιγαδικών από κοντά ;