ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ ΗΜΙΤΟΝΟΥ

ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ

§ Σύντομη αναφορά στο Φύλλο Εργασίας.

§ Η Δραστηριότητα του Φύλλου Εργασίας με εικόνες για όσους δεν διαθέτουν το λογισμικό.

Η εισήγηση αυτή περιγράφει μια διδασκαλία στο εργαστήριο Πληροφορικής με την βοήθεια του Modellus (http://phoenix.sce.fct.unl.pt/modellus ), λογισμικού Εγκεκριμένου από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, με διδακτικό αντικείμενο την περιοδικότητα του ημιτόνου

Το Modellus οι εκπαιδευτικοί και οι μαθητές μπορούν να το χρησιμοποιούν για να κατασκευάζουν μαθηματικά μοντέλα και να τα διερευνούν με τη μορφή παρουσιάσεων γραφημάτων και πινάκων τιμών. Έχει τη δυνατότητα της εισαγωγής παραμετρικής εξίσωσης που μπορούμε να δώσουμε τιμές στις παραμέτρους, να έχουμε πίνακα τιμών με επιθυμητά όρια τιμών, να δούμε μεμονωμένα ή παράλληλα τις γραφικές παραστάσεις της παραμετρικής εξίσωσης για τις διάφορες τιμές της (των) παραμέτρ-ου (-ων).

Μια εικόνα του περιβάλλοντος του Modellus που θα χρησιμοποιήσει η εισήγηση φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Το φύλλο εργασίας οδηγεί τον μαθητή να μελετήσει την συνάρτηση (με λατινικούς χαρακτήρες) y=sin(wx) με w παράμετρο που επηρεάζει την περιοδικότητα της συνάρτησης. Το λογισμικό μπορεί να διαχειριστεί τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (να υπολογίσει και να σχεδιάσει) με σύνολο τιμών τόσο σε ακτίνια όσο και σε μοίρες. Ο εισηγητής προτίμησε να χρησιμοποιήσει μοίρες, με την προϋπόθεση ότι θα έχει γίνει σαφές στους μαθητές ότι η παραπάνω συνάρτηση ορίζεται σε ακτίνια, διότι η χρήση των ακτινίων γίνεται σε δεκαδική μορφή και όχι με τη χρήση του π.

Η εργασία αυτή εκτός από τα αρχεία σε μοίρες συνοδεύεται και από τα αντίστοιχα σε ακτίνια.

Οι διδακτικοί στόχοι της διδασκαλίας στο εργαστήριο Πληροφορικής είναι η κατανόηση της περιοδικότητας της συνάρτησης του ημιτόνου [ y=sin(wx) ] σαν αποτέλεσμα μιας κατευθυνόμενης παρατήρησης και της επαλήθευσης εικασιών με την βοήθεια του λογισμικού (Modellus)

Στους παιδαγωγικούς στόχους της διδασκαλίας είναι η μεθοδολογία της μάθησης σαν υπόθεση συνεργατικής και όχι ατομικής υπόθεσης, στην ενεργή συμμετοχή του μαθητή που με βιωματικό και διερευνητικό τρόπο προσεγγίζει έννοιες και καταστάσεις δημιουργώντας υποθέσεις και εικασίες που μπορεί να επαληθεύσει με την βοήθεια του λογισμικού, στην πολύπλευρη προσέγγιση εννοιών με ένα λογισμικό πολλαπλής αναπαράστασης.

Σύντομη αναφορά στο Φύλλο Εργασίας.

Στην αρχή (βήμα 1) ο μαθητής ενημερώνεται για την συνάρτηση [y= ημ(wχ)] και την αρχική τιμή της παραμέτρου (w=1, αρχείο 1_sin_1_M)

Για τις παραπάνω τιμές των παραμέτρων ο μαθητής γράφει τον τύπο της συνάρτησης (βήμα 2) και συμπληρώνει στο Φ.Ε. ένα πίνακα τιμών (βήμα 3) της συνάρτησης από τον πίνακα τιμών του λογισμικού. Από τη συμπλήρωση του πίνακα ο μαθητής θα πρέπει να εντοπίσει (βήμα 4) την περίοδο της συνάρτησης. Ο μαθητής καλείται να επιβεβαιώσει το συμπέρασμα του από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ανοίγοντας το αρχείο 2_sin_1_M (βήμα 5)

Ανοίγοντας το επόμενο αρχείο (3_sin_2_M , βήμα 6) αλλάζει η τιμή της παραμέτρου (w=2) (βήμα 7) και με παρόμοια διαδικασία συμπλήρωσης ενός πίνακα (βήμα 8) ο μαθητής θα πρέπει να εντοπίσει (βήμα 9) την περίοδο της συνάρτησης για τη νέα τιμή της παραμέτρου. Ο μαθητής καλείται και πάλι να επιβεβαιώσει το συμπέρασμα του από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ανοίγοντας το αρχείο 4_sin_1_M (βήμα 10)

Στη συνέχεια ζητάμε (βήμα 11) από τους μαθητές να συσχετίσουν τα συμπεράσματα τους για τη περίοδο της συνάρτησης με την αλλαγή της τιμής της παραμέτρου w.

Μπορούν επίσης να απαντήσουν στο παραπάνω ερώτημα και με τη βοήθεια (βήμα 11) των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων για w=1 και w=2 ανοίγοντας το αρχείο 5_sin_1_M

Τέλος (βήμα 13) ζητάμε από τους μαθητές χωρίς την βοήθεια του λογισμικού και για w=0.5 να βρουν την περίοδο της συνάρτησης και να κάνουν την γραφική της παράσταση σε σχέση με τις δύο προηγούμενες. Εδώ μπορούν να επαληθεύσουν τα συμπεράσματα τους (ή να βοηθηθούν αν δεν τα καταφέρουν) με την βοήθεια και πάλι του λογισμικού (αρχείο 6_sin_0,5_M).

Η εργασία αυτή συνοδεύεται από το αρχείο 7_a_sin_w_M της συνάρτησης y=α*sin(wx) για τους συναδέλφους που θα ήθελαν να διαπραγματευθούν και τα ακρότατα της συνάρτησης.

Η εργασία αυτή, με τα σχετικά αρχεία, φιλοξενείτε στην Ιστοσελίδα http://users.sch.gr/pzafeir

Η Δραστηριότητα του Φύλλου Εργασίας με εικόνες για όσους δεν διαθέτουν το λογισμικό.

Εδώ βλέπετε τις ερωτήσεις του Φ.Ε. με καφέ χρώμα και οι εικόνες δείχνουν την εικόνα που θα πρέπει να εμφανίζεται στην οθόνη.

Με μπλε χρώμα οι απαντήσεις που θα πρέπει να δοθούν, χρησιμοποιώντας το λογισμικό.

1) Ανοίξτε το αρχείο 1_sin_1_M

Στο παράθυρο με το όνομα Μοντέλο βλέπετε την συνάρτηση y=sin(w*x) [y= ημ(wχ)]

ενώ στο παράθυρο Αρχικές συνθήκες (πάνω δεξιά) βλέπετε ότι για την παράμετρο w έχει δοθεί η τιμή 1

και ο πίνακας τιμών της εμφανίζεται στο παράθυρο με το όνομα Πίνακας τιμών 1. (κάτω αριστερά)

ΠΡΟΣΟΧΗ Το χ της παραπάνω συνάρτησης ορίζεται σε ακτίνια. Εσείς στον πίνακα τιμών για λόγους κατανόησης των όσων ακολουθούν βλέπετε το χ σε μοίρες.

2) Για w=1 γράψτε τον τύπο της συνάρτησης y=_______________ y=sin(x)

3) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα με την βοήθεια του πίνακα τιμών για την παραπάνω τιμή του w:

χ (σε μοίρες)	0^ο	40^ο	90^ο	130^ο	180^ο	220^ο	270^ο	310^ο	360^ο	400^ο	450^ο
y	0,00	0,64	1,00	0,77	0,00	-0,64	1,00	0,77	0,00	0,64	1,00

4) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης? ________ Τ₁=360⁰

5) Ανοίξτε το αρχείο 2_sin_1_M και επιβεβαιώστε το συμπέρασμα σας από το γράφημα της συνάρτησης.

6) Ανοίξτε το αρχείο 3_sin_2_M

7) Για w=2 γράψτε τον τύπο της συνάρτησης y=_______________ y=sin(2x)

8) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα με την βοήθεια του πίνακα τιμών για την παραπάνω τιμή του w:

χ (σε μοίρες)	0^ο	20^ο	45^ο	65^ο	90^ο	110^ο	135^ο	155^ο	180^ο	200^ο	225^ο
y	0,00	0,64	1,00	0,77	0,00	-0,64	-1,00	-0,77	0,00	0,64	1,00

9) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης? ________ Τ₂=180⁰

10) Ανοίξτε το αρχείο 4_sin_2_M και επιβεβαιώστε το συμπέρασμα σας από το γράφημα της συνάρτησης.

11) Για τις τιμές του w, (w=1 , w=2) και με τη συμπλήρωση των παραπάνω πινάκων τι συμπεράσματα βγάζετε για την γραφική παράσταση της συνάρτησης y= sin(w*x) ;

w₁=1, y=sin(x), T₁=360 / w₂=2, y=sin(2x), T₂=180 / …. w₂=2w₁ è T₂=T₁/2

12) Ανοίξτε το αρχείο 5_sin_2_M και επιβεβαιώστε (ή βοηθηθείτε) από τον πίνακα του γραφήματος.

13) Χωρίς την βοήθεια του λογισμικού και για w=0.5 [ y= sin(0.5*x) / y= ημ(0.5 χ) ]

μπορείτε να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης και να κάνετε την γραφική της παράσταση σε σχέση με τις δύο προηγούμενες; (Βοηθηθείτε ή επιβεβαιώστε τα συμπεράσματα σας κάνοντας χρήση του αρχείου 6_sin_0,5_M)

Ακολουθεί το Φύλλο Εργασίας όπως θα δοθεί στους μαθητές.

Φύλλο Εργασίας

1) Ανοίξτε το αρχείο 1_sin_1_M

Στο παράθυρο με το όνομα Μοντέλο βλέπετε την συνάρτηση y=sin(w*x)

[y= ημ(wχ)] ενώ στο παράθυρο Αρχικές συνθήκες (πάνω δεξιά) βλέπετε ότι για την παράμετρο w έχει δοθεί η τιμή 1.

Η γραφική παράσταση της y για την παραπάνω τιμή του w, εμφανίζεται στο παράθυρο με το όνομα Γράφημα 1 (κάτω δεξιά) και ο πίνακας τιμών της εμφανίζεται στο παράθυρο με το όνομα Πίνακας τιμών 1. (κάτω αριστερά)

2) Για w=1 γράψτε τον τύπο της συνάρτησης y=_______________