• | Εκτύπωση |

Λεπτομέρειες

Κατηγορία: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

 

Διαγώνισμα μιγαδικών 1

ΘΕΜΑ 1^Ο

Α. Αν z₁ και z₂ δυο μιγαδικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

|z₁.z₂| = |z₁|.|z₂|

Β. Τι ορίζουμε ως μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z;

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Για κάθε μιγαδικό z ισχύει : z² = |z|²

                                                                                                  

β. |z| = |w| τότε z = w , όπου z, w μιγαδικοί αριθμοί.

                                                                                                  

γ. Αν α, β μιγαδικοί αριθμοί , τότε = α ? βi.

                                                                                                  

δ. Ισχύει |i^ν | = 1 για κάθε ακέραιο ν.

                                                                                                  

ε. Για κάθε μιγαδικό z₁ και z₂ ισχύει |z₁+z₂| = |z₁|+|z₂|

Μονάδες 10-5-10

ΘEMA 2^Ο

1. C την εξίσωση z² -z + 1 = 0

2) Αν z₁ είναι ρίζα της εξίσωσης με imz <0 και w, wz₁   δυο μιγαδικοί με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων ) είναι ισόπλευρο

Μονάδες 10-15

 

 

 

ΘEMA 3^Ο

Εστω z ένας μιγαδικός αριθμός με

Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει λύσεις άπειρες λύσεις στο C.

Β) Αν z₁,z₂ είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης:

i)   Nα δείξετε ότι |z₁-z₂| 8.                                                  

ii) Αν z₁,z₂ είναι δύο λύσεις της τέτοιες ώστε το |z₁-z₂| να είναι μέγιστο, να βρείτετο |z₁+z₂| και ότι :

|(z₁+z₂₎|⁴+|10(z₁-z₂)|³ = 2¹².5³

Μονάδες 7-6-12

 

ΘEMA 4^Ο

Εστω α, β δύο μη μηδενικοί μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

α² = 4+3iαβ και ο α έχει μέτρο ίσο με 1.

Α) Να βρείτε την απόσταση των εικόνων Α και Β των α, 3iβ στο μιγαδικό επίπεδο.

Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του β.

Γ) Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του | β | .

Μονάδες 8-10-7