Ανισότητα Αναδιάταξης

  • Print

Ανισότητα αναδιάταξης (Rearrangement inequality)

Η ανισότητα αναδιάταξης αποτελεί φυσιολογική απάντηση στο πρόβλημα:

Αν έχουμε δύο ισοπληθείς ομάδες αριθμών και προσθέσουμε τα αθροίσματα των γινομένων ενός από τη μία με έναν αριθμό από την άλλη ομάδα, πότε αυτό το γινόμενο γίνεται μέγιστο και πότε ελάχιστό;

Παράδειγμα: Δίνονται οι ομάδες αριθμών: Α={1,2, 7 }, Β = { 4, -3 , 2}

Αν τους διατάξουμε σε κάθε ομάδα έχουμε :

127 1 \geq 2 \geq 7 και

-324 -3 \geq 2 \geq 4

Θεωρούμε τώρα τα αθροίσματα γινομένων:

α)  με την ίδια διάταξη: 1·(-3)+  2·2+7·4=29 1 \cdot (-3) +   2\cdot 2 + 7 \cdot 4 = 29

β) με αντίθετες διατάξεις: 1·4+  2·2+7· (-3)=-13 1 \cdot 4 +   2\cdot 2 + 7 \cdot (-3) = -13

γ) με ανακατεμένη διάταξη: 1·2+  2·(-3)+7·4=24 1 \cdot 2 +   2\cdot (-3) + 7 \cdot 4 = 24

Παρατηρούμε ότι: 2924-13 29 \geq 24 \geq -13 , δηλαδή α>γ>β.

Αυτό ισχύει γενικότερα, δηλαδή όταν πολλαπλασιάζουμε με την ίδια διάταξη και προσθέτουμε έχουμε τη μέγιστη τιμή, όταν πολλαπλασιάζουμε με την αντίθετη διάταξη και προσθέτουμε έχουμε την ελάχιστη τιμή και σε οποιαδήποτε ενδιαμέση περίπτωση λαμβάνουμε ενδιαμέσες τιμές του αθροίσματος.

Αναλυτική διατύπωση