Εικασία 3ν + 1

  • Print

Πολλά σημαντικά προβλήματα  των μαθηματικών έχουν προέλθει από φαινομενικά απλά ερωτήματα! Άλλα πάλι είναι όντως απλά.

Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα αποτελεί το πασίγνωστο τελευταίο θεώρημα του Fermat (Φερμά) , το οποίο μοιάζει με μία γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος. Συγκεκριμένα αφορά την αναζήτηση ακέραιων λύσεων της εξίσωσης {tex}x^n + y^n = z^n{/tex}. όπου n ακέραιος μεγαλύτερος του 2. Παρότι για n=2 είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες που το ικανοποιούν, αποδείχθηκε το 1998 από τον Andrew Wiles ότι δεν υπάρχει καμία τριάδα ακεραίων που να ικανοποιεί το θεώρημα για n>2. Τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν για αυτό άνοιξαν νέους δρόμους στην έρευνα ή υπήρξαν ήδη και χρησιμοποιήθηκαν πρωτίστως για άλλους σκοπούς.

Παρόμοια προβλήματα με απλή διατύπωση έχουν παραμείνει εικασίες έτοιμες να απορριφθούν ή να αποδειχθούν.

Μία τέτοια είναι και η εικασία 3ν+1 :

Συγκεκριμένα αναφέρει ότι κάθε ακολουθία ακεραίων που προκύπτει με επαναληπτικά από τη συνάρτηση f(n) = 3n+1, αν n περιττός ή n/2, αν n άρτιος καταλήγει πάντα να περιλαμβάνει τον αριθμό 1.

Παράδειγμα ξεκινώντας με τον αριθμό 3  παίρνουμε διαδοχικά τους αριθμούς : 3 , f(3) = 3 3 + 1 = 10 , f(10) = 5 , f(5) = 3 5 + 1 = 16 , f(16) = 8 , f(8) = 4 , f(4) = 2 , f(2) = 1.

Ή ξεκινώντας με τον αριθμό 6 : 6, f(6) = 3, f(3) =3 3 + 1 = 10 και επαναλαμβάνεται η προηγούμενη ακολουθία.

 

Αυτή η  πρόταση δεν έχει αποδειχθεί ότι ισχύει για κάθε n φυσικό αριθμό, αλλά ούτε έχει βρεθεί αντιπαράδειγμα , δηλαδή τουλάχιστον ένας αριθμός για τον οποίο δεν ισχύει. Παρατηρούμε ότι η ακολουθία οδηγείται με βεβαιότητα στο 1 όταν προκύψει ένας όρος ο οποίος θα είναι δύναμη του 2.