Τα θεωρήματα των ΖΟΓΚΛΕΡ
Μαθηματικά ΚΟΛΠΑ

Διάσημοι επιστήμονες, όπως ο Ρίτσαρντ Φέινμαν και ο Κλοντ Σάνον, αλλά και άλλοι, λιγότερο γνωστοί, από τον χώρο των μαθηματικών και της φυσικής, όχι μόνο αρέσκονταν και αρέσκονται ακόμη στο να παίζουν κρατώντας στον αέρα όσο γίνεται περισσότερες μπάλες, κρίκους ή κορύνες, αλλά ασχολήθηκαν εντατικά και με το να βρουν εξισώσεις ή να διατυπώσουν σχετικά θεωρήματα. Στην Ελλάδα είναι ενασχόληση λίγων, αλλού όμως υπάρχουν ακόμη και προγράμματα στους υπολογιστές που την αναδεικνύουν αληθινή επιστήμη, ενώ γερμανοί ερευνητές ανακάλυψαν ότι η απασχόληση αυτή βοηθάει πολύ στην ανάπτυξη του εγκεφάλου!

 

Την περασμένη χρονιά το μεγάλου κύρους περιοδικό «Nature» δημοσίευσε ένα άρθρο σχετικά με τον εγκέφαλο κάποιων εθελοντών που είχαν για λίγο μεταβληθεί σε... ζογκλέρ. Ερευνητές του Πανεπιστημίου του Ρέγκενσμπουργκ υπέβαλαν 24 άτομα σε μια πολύ λεπτομερή σάρωση και μέτρηση της συγκέντρωσης του εγκεφαλικού ιστού. Στη συνέχεια ζήτησαν τα μισά άτομα να αρχίσουν να εξασκούνται στην κλασική και πιο εύκολη φιγούρα των ζογκλέρ όπου τα δύο χέρια κατορθώνουν να διατηρούν τρεις μπάλες εναλλάξ στον αέρα. Επειτα από τρεις μήνες, μετρώντας ξανά τον εγκεφαλικό ιστό, βρήκαν ότι σε όσους είχαν ασκηθεί ανελλιπώς η φαιά ουσία είχε αυξηθεί κατά 3% περίπου στις περιοχές που ήταν υπεύθυνες για την επεξεργασία των οπτικών ερεθισμάτων. Οταν μετά σταμάτησαν να εξασκούνται, ο εγκέφαλός τους γύρισε στις παλιές του διαστάσεις. Ετσι οι ερευνητές άρχισαν να σκέπτονται ότι τέτοιες δραστηριότητες όπως αυτές των ζογκλέρ αναγκάζουν τον εγκέφαλο να αναπτυχθεί για να αντιμετωπίσει τον φόρτο νέων δεδομένων που πρέπει να επεξεργαστεί όταν οι απαιτήσεις αυξάνονται τόσο δραματικά. Και αυτό ίσως ανοίγει την πόρτα για να βρεθεί απάντηση σε παλιά αινίγματα του ανθρώπινου οργανισμού όπως η δυσλεξία.

«Παίζεις, παίζεις;».

«E, λίγο».

«Πόσα;».

«Οχι πολύ, τρία-τέσσερα μπαλάκια. Καταρράκτη, αντίστροφο καταρράκτη, μποξ».

Εχουν τη δική τους διάλεκτο όσοι ασχολούνται με τα... ζογκλερικά κι εδώ στην Αθήνα. Στην Τζαβέλλα, στον πεζόδρομο που ενώνει την Εμμανουήλ Μπενάκη με την οδό Ζωοδόχου Πηγής, βρίσκεται ένα μαγαζί που πουλάει όλα όσα χρειάζεται ένας ζογκλέρ για να εξασκήσει την τέχνη του. Εκεί μαζεύονται όταν έχει καλό καιρό όχι μόνο όσοι θέλουν να αγοράσουν κρίκους, μπάλες, κορύνες και διάφορα άλλα σχετικά σύνεργα ή να ακούσουν τα νέα αλλά και όσοι τους αρέσει να εξασκούνται παρέα και να μαθαίνουν από τους άλλους. Είναι πολύ εύκολο να μπεις στην ομάδα. Οι περαστικοί όμως κοιτούν για λίγο αλλά οι πιο πολλοί δεν στέκονται. Θεωρείται μια ασχολία μάλλον περιθωριακή για ανθρώπους που θα καταλήξουν σε κάποιο τσίρκο ή έστω σε μια σκηνή θιάσου ποικιλιών.

Το Caltech, εκεί όπου δίδαξαν μερικοί από τους πιο μεγάλους φυσικούς, έχει τη δική του λέσχη ερασιτεχνών ζογκλέρ, όπου ποτέ δεν ξέρεις, εκτός από τους φοιτητές, ποιος καθηγητής θα σκάσει μύτη στις εβδομαδιαίες συναντήσεις για προπόνηση που γίνονται ανελλιπώς από το 1999. Υπάρχει μάλιστα και φωτογραφία του Ρίτσαρντ Φέινμαν από το 1950 καθώς αυτός, ο πιο διάσημος καθηγητής της σχολής, διασκεδάζει εκτελώντας ο ίδιος κάποιο ζογκλερικό νούμερο. Από το 1970 το MIT, ένα από τα πιο γνωστά πολυτεχνεία στον κόσμο, έχει τη δική του λέσχη και υπερηφανεύεται για τις επιδόσεις των μελών του. Ενας από αυτούς υπήρξε και ο Κλοντ Σάνον. Ο άνθρωπος που σκέφθηκε ότι το 0 και το 1 θα ήταν το λεξιλόγιο ενός επιτυχημένου υπολογιστικού μηχανήματος, η εργασία του οποίου για το Μάστερ θεωρείται η πιο σημαντική του 20ού αιώνα και ο ίδιος ένας από τους εξυπνότερους ανθρώπους που έζησαν ποτέ. Ενας αυτόπτης μάρτυρας διηγείται ότι κάποτε, όταν τον αναγνώρισαν καθώς παρακολουθούσε μια διάλεξη και τον ανάγκασαν να ανεβεί στο βήμα και να πει δυο λόγια, δεν παρέλειψε να διασκεδάσει το ακροατήριό του κάνοντας και κάποια ζογκλερικά. Το ενδιαφέρον του άλλωστε έχει απαθανατιστεί και από το Θεώρημα του Σάνον για τον Καταρράκτη, ένα από τα πιο κλασικά νούμερα της ζογκλερικής τέχνης. Διότι για όλους αυτούς τους επιστήμονες, ερευνητές, κατόχους διδακτορικών τίτλων, τις διασημότητες της ακαδημαϊκής κοινότητας, το να παιδεύεσαι να κρατήσεις στον αέρα, με μια θαυμαστή σύμπνοια εγκεφάλου, ματιών, αφής και όρασης, όσο γίνεται περισσότερα αντικείμενα είναι μια δραστηριότητα απελευθερωτική, αξιομίμητη, προκλητικά ενδιαφέρουσα και καθόλου περιθωριακή. Για αυτούς φυσικά που δεν αφήνουν τη σοβαροφάνειά τους να νοθέψει την ουσία μιας πανάρχαιας δραστηριότητας. Εμείς εδώ στην Ελλάδα είναι αλήθεια ότι δεν το έχουμε δει έτσι το θέμα...


Εκατόν πενήντα τάφοι έχουν βρεθεί σε μια τοποθεσία της Αιγύπτου που ονομάζεται Μπενί Χασάν και χρονολογούνται περίπου στο μέσον της περιόδου 1994 ως 1781 π.X. Ενας από αυτούς ανήκει σε κάποιον άγνωστο πρίγκιπα και αυτοί που έμειναν πίσω φρόντισαν να στολίσουν την τελευταία κατοικία του με τοιχογραφίες γεμάτες ευχάριστες εικόνες της καθημερινής ζωής. Μία από αυτές λοιπόν φαίνεται ότι ήταν και τα παιχνίδια με τις μπάλες στα επιδέξια χέρια των νεαρών γυναικών και είναι φανερό ότι μερικά από τα κλασικά σημερινά κόλπα των ζογκλέρ ήταν γνωστά από τότε. Και ένα άλλο μεταγενέστερο αγγείο με την παράσταση μιας γυναίκας καθισμένης που «παίζει» με τρεις μπάλες αλλά και το αγαλματίδιο της εποχής των Πτολεμαίων (200 π.X.) από τις Θήβες της Αιγύπτου θυμίζουν την πανάρχαια καταγωγή αυτής της συνήθειας. Μπάλες από δέρμα με σπόρους μέσα ή από έντεχνα πλεγμένα φύλλα, μαχαίρια και δάδες ήταν τα σύνεργα των ζογκλέρ ανά τους αιώνες. H πρώτη επιστημονική μελέτη γύρω από το θέμα εμφανίζεται μόλις το 1903, όταν μελετήθηκαν οι δυσκολίες να ρίχνεις και να πιάνεις εναλλάξ δύο μπάλες με το ένα χέρι. Το 1970 χάρη στον Σάνον έπαψαν οι ασκήσεις των ζογκλέρ να είναι μονοπώλιο των ανθρώπων του τσίρκου και των ηθοποιών του δρόμου. Από τότε έχουμε και το Θεώρημα του Σάνον, που δίνεται συνοπτικά από την ισότητα: (F+D)Η = (V+D)Ν, όπου F είναι ο χρόνος παραμονής μιας μπάλας στον αέρα, D ο χρόνος που μια μπάλα μένει στο χέρι, V είναι ο χρόνος ενόσω το χέρι δεν κρατά κάποια μπάλα, το N δείχνει το πόσες μπάλες παίζουμε και το H πόσα χέρια χρησιμοποιούμε. Από το θεώρημα φαίνεται και το αυτονόητο ότι παίζοντας με περισσότερες μπάλες τα χέρια μας θα είναι περισσότερο χρόνο απασχολημένα.

Οχι μόνο κατασκευάστηκαν στο MIT και αλλού διάφορα ρομπότ που μπορούν να παίζουν ακόμη και με πέντε μπάλες αλλά έγινε προσπάθεια να ερευνηθούν με μαθηματικές μεθόδους θέματα σχετικά με την τέχνη του να κρατάς στον αέρα περισσότερα αντικείμενα από όσα είναι τα χέρια σου. Μάλιστα το 1995 εμφανίστηκε άρθρο στο περιοδικό «Scientific American» όπου γινόταν λόγος και για τον τρόπο επιστημονικής καταγραφής των συνδυασμών που επινοεί ένας ζογκλέρ. Σήμερα έχουμε καταλήξει σε μια αριθμητική καταγραφή τόσο αποτελεσματική ώστε με κατάλληλα προγράμματα ο υπολογιστής «επινοεί» συνδυασμούς που μπορούμε στη συνέχεια να δοκιμάσουμε με τα χέρια μας και επίσης είναι εύκολο να ξέρουμε ποια κόλπα είναι αδύνατον να γίνουν!


5 4 3 ή 5 5 5 0 0 ή μήπως 4 4 4 4;..


Στην εικόνα φαίνονται οι «ρίψεις» από κάθε χέρι και ο αριθμός που αντιστοιχεί στην καθεμία με βάση τον γενικά αποδεκτό πλέον τρόπο καταγραφής των διαφόρων «κόλπων». Μονοί αριθμοί για το πέρασμα από το ένα χέρι στο άλλο, ζυγοί όταν το αντικείμενο δεν αλλάζει χέρι

Ενας αριθμός στο σύστημα καταγραφής δείχνει το σχετικό ύψος στο οποίο φθάνει μια μπάλα προτού καταλήξει πάλι σε κάποιο χέρι. Ταυτόχρονα σε αυτό το ύψος αντιστοιχούν και κάποιες μονάδες χρόνου που χρειάζονται για την αντίστοιχη πτήση. Εχει συμφωνηθεί πως οι ζυγοί αριθμοί θα δείχνουν ότι η μπάλα επιστρέφει στο ίδιο χέρι από το οποίο ξεκίνησε ενώ οι μονοί αριθμοί δείχνουν ότι κατέληξε στο άλλο χέρι. Ο αριθμός μηδέν δείχνει ότι έχουμε κάποια στιγμή που το αντίστοιχο χέρι είναι άδειο ενώ το 1 δείχνει ότι απλά περάσαμε γρήγορα μια μπάλα οριζόντια από το ένα χέρι στο άλλο. Δεν χρειάζεται να σημειώνουμε από ποιο χέρι αρχίζουμε, άλλωστε δεν έχει σημασία, αρκεί να θυμόμαστε ότι οι αριθμοί αναφέρονται πάντα εναλλάξ στο δεξί και στο αριστερό. Με λίγη εξάσκηση φθάνεις να βλέπεις πολύ μακριά.

Παράδειγμα 1: 3 3 3 3 3 3 3 3 3...

Το πρώτο τριάρι σημαίνει ότι εκτοξεύεται μια μπάλα από το ένα χέρι προς το άλλο αφού το 3 είναι μονός και φθάνει εκεί μετά από τρία ίσα χρονικά διαστήματα. Το δεύτερο τριάρι αντιστοιχεί στο άλλο χέρι. Το τρίτο τριάρι δείχνει ότι άλλη μια μπάλα που κρατούσαμε στο πρώτο χέρι έφυγε για το άλλο. Τελικά η σειρά από τα τριάρια δείχνει στον μυημένο τον λεγόμενο καταρράκτη, το πιο απλό από τα κόλπα των ζογκλέρ.

Παράδειγμα 2: 4 4 4 4 4 4 4 4...

Εδώ έχουμε δύο μπάλες που κρατούμε από μία στο κάθε χέρι και τις εκσφενδονίζουμε προς τα επάνω εναλλάξ και τις πιάνουμε με το ίδιο χέρι, αφού ο 4 είναι ζυγός αριθμός.

Γενικά υπάρχει ένας ακόμη κανόνας που λέει ότι για να βρεις πόσες μπάλες χρειάζεσαι για ένα κόλπο αθροίζεις τους αριθμούς και διαιρείς με το πλήθος τους. Αν το αποτέλεσμα δεν δίνει ακέραιο αριθμό, το κόλπο δεν γίνεται. Και αν όμως το αποτέλεσμα δίνει ακέραιο, θέλει προσοχή.

Παράδειγμα 3: 5 4 3 5 4 3...

Εδώ 5+4+3=12 και 12: 3=4, ακέραιος, άρα με 4 μπάλες πραγματοποιείται;

Εεεπ, εδώ υπάρχει πρόβλημα διότι, αν αναλυθούν οι χρόνοι, θα δούμε ότι λόγω του 5 και του 4 θα καταλήξουν δύο μπάλες στο ίδιο χέρι την ίδια στιγμή, πράγμα που απαγορεύεται.

Βρείτε τρεις μικρές μπάλες με το κατάλληλο βάρος και ξεκινήστε. Στην αρχή η προσπάθεια είναι βασανιστική αλλά οδηγεί σε μια θαυμαστή συνεργασία αισθήσεων και εγκεφάλου που λειτουργεί απελευθερωτικά...