Λύση άσκησης με διαγράμματα στην ΕΟΚ

Από το φυλλάδιο Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση που ενσωματώνεται πιο πάνω θα λύσουμε ως παράδειγμα την άσκηση 4 στην οποία δίνεται το παραπάνω διάγραμμα $x - t$ .

α) Περιγραφή των κινήσεων

Σύμφωνα με το διάγραμμα θέσης-χρόνου ( $x - t$ )

i . Στο χρονικό διάστημα 0 – 2 s παρατηρούμε ότι το σώμα ξεκινά από τη θέση $x_o = 0$ και η γραφική παράσταση έχει θετική κλίση, οπότε η ταχύτητα του είναι θετική δηλαδή το σώμα κινείται προς τα δεξιά αν θεωρήσουμε ότι αυτή είναι η θετική κατεύθυνση. Η ταχύτητα θα έχει μέτρο που προκύπτει από την κλίση του διαγράμματος για το διάστημα $0 - 2 s$ και θα είναι:

$v= \frac { \Delta x} {\Delta t} = \frac {x_2 - x_1 } {t_2 - t_1} = \frac {5 - 0} {2 - 0} = 2.5 m/s$

ii. Στο χρονικό διάστημα 2 – 5 s παρατηρούμε ότι το σώμα ξεκινά από τη θέση $x_o = 5m$ και η γραφική παράσταση έχει μηδενική κλίση (είναι παράλληλη στον οριζόντιο άξονα του χρόνου), οπότε η ταχύτητα του είναι μηδέν και δε χρειάζεται να υπολογίσουμε την κλίση.

iii. Στο χρονικό διάστημα 5 – 6 s παρατηρούμε ότι το σώμα ξεκινά από τη θέση $x_o = 5m$ και η γραφική παράσταση έχει θετική κλίση, οπότε η ταχύτητα του είναι θετική δηλαδή το σώμα κινείται προς τα δεξιά αν θεωρήσουμε ότι αυτή είναι η θετική κατεύθυνση. Η ταχύτητα θα έχει μέτρο που προκύπτει από την κλίση του διαγράμματος για το διάστημα $5 - 6 s$ και θα είναι:

$v= \frac { \Delta x} {\Delta t} = \frac {x_2 - x_1 } {t_2 - t_1} = \frac {20 - 5} {6 - 5} = 15 m/s$

iv . Στο χρονικό διάστημα 6 – 7 s παρατηρούμε ότι το σώμα ξεκινά από τη θέση $x_o = 20m$ και η γραφική παράσταση έχει κλίση προς τα κάτω δηλαδή αρνητική, οπότε και η ταχύτητά του είναι αρνητική, δηλαδή το σώμα κινείται προς τα αριστερά αν θεωρήσουμε ότι προς τα δεξιά είναι η θετική κατεύθυνση. Η ταχύτητα θα έχει μέτρο που προκύπτει από την κλίση του διαγράμματος για το διάστημα $6 - 7 s$ και θα είναι:

$v= \frac { \Delta x} {\Delta t} = \frac {x_2 - x_1 } {t_2 - t_1} = \frac {0 - 20} {7 - 6} = -20 m/s$

Παρακάτω φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου με βάση τους υπολογισμούς που κάναμε μέχρι τώρα:

β) Για τη μετατόπιση μπορούμε να απαντήσουμε άμεσα χωρίς υπολογισμούς ότι είναι 0, αφού το σώμα καταλήγει την χρονική στιγμή 7s στην ίδια θέση x=0 από την οποία ξεκίνησε αρχικά τη χρονική στιγμή 0.

Για να βρούμε το διάστημα αρκεί να βρούμε τα επιμέρους εμβαδά στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου που κατασκευάσαμε προηγουμένως

Όπως φαίνεται έχουμε τις επιμέρους μετατοπίσεις:

$\Delta x_1 = 5m, \Delta x_2 = 0, \Delta x_3 = 15m, \Delta x_4 = -20m$

Αν τις προσθέσουμε κατά απόλυτη τιμή προκύπτει το συνολικό διάστημα $s = 40m$ που διένυσε το κινητό σε χρόνο $t = 7s$ , οπότε η μέση ταχύτητά του θα είναι:

$v_\mu = \frac {s} {t} = \frac {40} {7} m/s$

Αν προσθέσουμε τις επιμέρους μετατοπίσεις αλγεβρικά θα πάρουμε τη συνολική μετατόπιση $\Delta x = 0$ , όπως ακριβώς περιμέναμε αφού το σώμα επιστρέφει στην αρχική του θέση. Επομένως και η μέση διανυσματική ταχύτητα θα είναι ίση με το μηδέν.

γ) Για τις εξισώσεις κίνησης (ή πιο σωστά συναρτήσεις θέσης) θα πρέπει να ξέρουμε ότι κάθε κίνηση ξεκινά κάποια χρονική στιγμή $t_o$ από κάποια αρχική θέση $x_o$ . Έτσι σε κάθε εξίσωση θα πρέπει να προσθέτω την αρχική θέση $x_o$ όπου δεν είναι μηδέν και από τη μεταβλητή του χρόνου να αφαιρώ τον αρχικό χρόνο $t_o$ (εδώ αφαιρώ αφού π.χ. η κίνηση iii. ξεκινά 5 δευτερόλεπτα αργότερα σε σχέση με την κίνηση i. που ξεκινά τη χρονική στιγμή 0). Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις αλλά και τις ταχύτητες που υπολογίσαμε στο α) ερώτημα οι εξισώσεις κίνησης των επιμέρους κινήσεων με αρχικό χρόνο 0 s και σημείο αναφοράς (αρχική θέση) 0m θα είναι: