qui est connu sous le nom de la règle de Keynes-Ramsey. [5] le terme f k (k) − δ {displaystyle f_ {k} (k)-delta}, où f k {displaystyle f_ {k}} est une notation à court terme pour le produit marginal de capital, de la valeur de l`investissement (displaystyle {tfrac {partial f} {partial k}}}, reflète le rendement marginal des investissements nets. L`expression − u c (c)/c ⋅ u c c (c) {displaystyle-left.U_{c} (c) Right/c cdot U_ {CC} (c)} reflète la courbure de la fonction Utility; son réciproque est connue comme l`élasticité (intertemporelle) de la substitution et indique combien l`agent représentatif souhaite lisser la consommation au fil du temps. On suppose que cette élasticité est une constante positive, c`est-à-dire σ = − c ⋅ u c c (c)/u c (c) > 0 {displaystyle sigma =-left.ccdot U_ {CC} (c) Right/U_ {c} (c) > 0}. Ensemble, les deux équations différentielles décrivent le système dynamiques Ramsey – Cass – Koopmans. L`état d`équilibre, qui se trouve en définissant k ̇ {displaystyle {dot {k}}} et c ̇ {displaystyle {dot {c}}} égal à zéro, est donnée par la paire (k ∗, c ∗) {displaystyle (k ^ {ast}, c ^ {ast})} implicitement défini par sur leur durée de vie, ni Cass ni Koopmans jamais s uggested que leurs résultats caractérisant la croissance optimale dans le modèle de croissance à temps continu d`un secteur, étaient autre chose que «simultanée et indépendante». Le fait que la question de la priorité soit devenue un point de discussion n`était dû que dans la version publiée du travail de Koopmans, il cite le chapitre de la thèse de Cass qui deviendra plus tard le document RES. Dans son article, Koopmans indique dans une note que Cass a obtenu indépendamment des conditions semblables à celles de Koopmans, et que Cass considère également le cas limitatif où le taux d`actualisation va à zéro dans son article. Pour sa part, Cass note que «après la version originale de ce document a été achevée, une analyse très similaire par Koopmans est venu à notre attention. Nous puisons sur ses résultats en discutant du cas limitatif, où le taux d`escompte social effectif va à zéro “.
Dans l`interview que Cass a donnée à la dynamique macroéconomique, il attribue à Koopmans le pointage du travail antérieur de Frank Ramsey, prétendant avoir été gêné de ne pas l`avoir su, mais ne dit rien pour dissiper la prétention fondamentale que son travail et Koopmans`étaient en fait indépendant. La deuxième équation du modèle est la solution au problème du planificateur social de maximiser une fonction de protection sociale, U 0 = ∫ 0 ∞ e − ρ t U (C) d t {displaystyle U_ {0} = int _ {0} ^ {infty} e ^ {-rho t} U (C) , mathrm {d} t} , qui se compose du flux de l`utilité instantanée à actualisation exponentielle de la consommation, où ρ (0, ∞) {displaystyle rho in (0, infty)} est un taux d`actualisation reflétant la préférence temporelle. On suppose que l`économie est peuplée par des individus identiques, de sorte que le problème de contrôle optimal peut être énoncé en termes d`un agent représentatif à vie infinie avec l`utilité de temps-invariant: U (C) = L u (c) = L 0 e n t u (c) {displaystyle U (C) = lu (c) = l_ {0} e ^ {nt} u (c)}. La fonction d`utilité est supposée être en augmentation stricte (c.-à-d., il n`y a pas de point de félicité) et concave dans c {displaystyle c}, avec Lim c → 0 u c = ∞ {displaystyle lim _ {cto 0} U_ {c} = infty}, où u c {displaystyle U_ {c}} est une notation de courte main pour le marginal utilité de la consommation, c {displaystyle {tfrac {partial u} {partial c}}}. Normalisant la population initiale L 0 {displaystyle l_ {0}} à un, le problème peut être énoncé comme: la première équation clé du modèle Ramsey – Cass – Koopmans est l`équation d`État pour l`accumulation de capital: Spear et Young réexaminent l`histoire d`une croissance optimale dans les années 1950 et 1960 [8], en s`attachant en partie à la véracité du développement simultané et indépendant revendiqué de Cass «croissance optimum dans un modèle agréant d`accumulation de capital» (publié en 1965 dans l`examen des études économiques), et Koopman “sur le concept de croissance économique optimale” (publié dans la semaine d`étude sur l`approche économétrique de la planification du développement, 1965, Rome: Académie pontificale des sciences).