Ο τετραγωνισμός του κύκλου |
Η μέτρηση του εμβαδού που περικλείεται από κάποιο σχήμα ήταν από τις κυριότερες επιδιώξεις των γεωμετρών. Ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού διάλεξαν το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, έτσι τέθηκε το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων, δηλ της κατασκευής ενός τετραγώνου που να έχει το ίδιο εμβαδόν με το δοσμένο σχήμα. Μετά τον
τετραγωνισμό του ορθογωνίου, του
τριγώνου, του παραλληλογράμμου και γενικά
των πολυγώνων, στράφηκαν στον
τετραγωνισμό σχημάτων που ορίζονται από καμπύλες γραμμές. Έτσι αρχικά, τέθηκε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του
κύκλου: Στα τέλη του 5ου π.Χ αιώνα το παραπάνω πρόβλημα ήταν πολύ δημοφιλές. Ακόμα και ο κωμικός ποιητής Αριστοφάνης έκανε ένα αστείο σχετικά με αυτό. Στις Όρνιθες, φέρνει στη σκηνή τον αστρονόμο Μέτωνα, ο οποίος λέει:
«με το ορθό ραβδί αρχίζω να μετρώ Ο πρώτος
που αναφέρεται ότι ασχολήθηκε με
τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας
ο Κλαζομένιος (500-428 π.Χ), δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Ο σοφιστής Αντιφών
ο Αθηναίος (430 π.Χ) σκέφτηκε
πως, αν εγγράψει
στον κύκλο κανονικά πολύγωνα με 4,8,16,32,64,… πλευρές και προχωρήσει μέχρι
οι πλευρές του πολυγώνου «ταυτιστούν» με
την περιφέρεια του κύκλου, τότε αφού τα
πολύγωνα τετραγωνίζονται θα τετραγωνιστεί
και ο κύκλος. Ο Βρύσων ο Ηρακλειώτης ασχολήθηκαν επίσης με το πρόβλημα και διατύπωσε την άποψη ότι «το εμβαδόν του κύκλου είναι μέσο ανάλογο των εμβαδών του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου τετραγώνου » ή ότι «το εμβαδόν του κύκλου είναι το ημιάθροισμα των εμβαδών των εγγεγραμμένων και περιγραμμένων κανονικών πολυγώνων ». Οι ιδέες αυτές του Αντιφώντα και Βρύσωνα χαρακτηρίστηκαν από τον Αριστοτέλη «ανάξιαι συζητήσεων ως αντικείμεναι προς τα αρχάς της Γεωμετρίας » χρησιμοποιήθηκαν όμως από τον Αρχιμήδη ως αφετηρία για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Οι Έλληνες γεωμέτρες μετά τις επανειλημμένες προσπάθειες τους να τετραγωνίσουν τον κύκλο με κανόνα και διαβήτη, στράφηκαν στην χρησιμοποίηση άλλων καμπύλων πολυπλοκώτερες του κύκλου. Ο Πάππος (3ος αι. μ.Χ) στο έργο του «Μαθηματική συναγωγή» αναφέρει ότι ο Δεινόστρατος και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν την τετραγωνίζουσα για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Ο Ιάμβλιχος (250-325
μ.Χ ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν: |