Συμμετρία  ως προς σημείο

Στο διπλανό σχέδιο έχουμε ένα  σχήμα ΑΒΓ  και ένα σημείο Ο. Αν περιστρέψουμε το σχήμα  γύρω από το σημείο Ο κατά  180 μοίρες (πατήστε το πλήκτρο "Περιστροφή ")  θα πάρει μια νέα θέση  την Α´Β´Γ´.
Κατά  την περιστροφή αυτή κάθε σημείο του  ΑΒΓ  θα συμπέσει με ένα σημείο του Α´Β´Γ´. Πατήστε το πλήκτρο Ctrl  και κάντε κλικ πάνω στο σημείο Α του ΑΒΓ.  Περιστρέψετε το σημείο πατώντας το πλήκτρο "Περι/φή" να δείτε με ποιό σημείο του άλλου σχήματος θα συμπέσει.Το σημείο λοιπόν Α συμπίπτει με το σημείο Α' .Τα σημεία αυτά λέγονται συμμετρικά ως προς κέντρο Ο και το κάθε ένα λέγεται συμμετρικό του άλλου.Δηλαδή :
Συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς κέντρο Ο, λέγεται το σημείο Α', με το οποίο συμπίπτει το Α, όταν περιστραφεί περί το Ο κατα 180 μοίρες.

Παρατηρούμε ότι κατα την περιστροφή του Α περί το Ο, το τμήμα ΟΑ παραμένη σταθερό, έτσι τα τμήματα ΟΑ  και ΟΑ'  είναι ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι το Ο είναι το μέσο του τμήματος ΑΑ'. Αυτό συμβαίνει σε όλα τα συμετρικά σημεία. (Πάρτε και άλλα σημεία  ακόμα και έξω από το ΑΒΓ, περιστρέψετέ τα γύρω από το Ο, να διαπιστώσετε ότι πάντα ΟΜ=ΟΜ').Για το λόγο αυτό θα λέμε ότι :

          Δύο σημεία  Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο ,όταν το Ο είναι μέσο του τμήματος ΜΜ'

Έτσι για να βρούμε στο τετράδιο μας (όπου δεν μπορούμε να κάνουμε περιστροφή) το συμμετρικό ενός σημείου ως προς το Ο, ενώνουμε το σημείο με το Ο και προεκτείνουμε κατά ίσο  τμήμα.

Αν βρούμε τα συμμετρικά όλων των σημείων του  ΑΒΓ,  αυτά θα καλύψουν το Α´Β´Γ´. Δηλαδή, κάθε σημείο του Α´Β´Γ´ είναι συμμετρικό ενός σημείου του ΑΒΓ ως προς το Ο, αλλά και αντίστροφα, κάθε σημείο του ΑΒΓ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Α´Β´Γ´ ως προς το Ο. Για το λόγο αυτό τα σχήματα αυτά λέγονται συμμετρικά ως προς το Ο και όπως παρατηρούμε είναι ίσα αφού το ένα συμπίπτει με το άλλο.Δηλαδή :

                   Τα συμμετρικά ως προς ένα σημείο σχήματα είναι ίσα.