Συμμετρία ως προς άξονα
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσο του ΑΔ.
|
|
Αν διπλώσουμε το σχήμα γύρω από την ευθεία ε (πατήστε το πλήκτρο "Περιστροφή") θα παρατηρήσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ συμπίπτουν. Κάθε σημείο του ενός τριγώνου συμπίπτει με ένα σημείο του άλλου τριγώνου. Το σημείο Β συμπίπτει με το σημείο Γ και για το λόγο αυτό λέγονται, συμμετρικά ως προς άξονα την ευθεία ε. Το σημείο Γ λέγεται συμμετρικό του Β ως προς την ευθεία ε και το Β συμμετρικό του Γ ως προς την ε. Πατήστε ξανά "Περιστροφή" ώστε το τρίγωνο ΑΒΔ να έλθει στην αρχική του θέση και πατώντας το πλήκτρο Ctrl κάνετε κλικ στο ΑΒΔ, τότε θα ορίσετε ένα σημείο στο τρίγωνο αυτό.Πατήστε ξανά δύο φορές "Περιστροφή" και θα σχεδιασθεί ένα σημείο στο τρίγωνο ΑΔΓ με το οποίο συμπίπτει το σημείο που μόλις πήρατε πάνω στο τρίγωνο ΑΒΔ. |
Σχεδιάσαμε λοιπόν δύο σημεία συμμετρικά ως προς την ευθεία ε. Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάσετε τα συμμετρικά μερικών σημείων του τρίγωνου ΑΒΔ.
Εύκολα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το σημείο Κ, κατά την περιστροφή γύρω από την ευθεία ε συμπίπτει με τον εαυτό του, άρα το συμμετρικό του ως προς την ε είναι ο εαυτός του. Το ίδιο συμβαίνει και για τα σημεία Α και Δ. Μπορείτε να πάρετε και εσείς σημεία πάνω στην ε και να βρείτε τα συμμετρικά τους. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
Κάθε σημείο μιας ευθείας ε είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την ε.
Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ , Α'Β'Γ' και μια ευθεία ε. Πατώντας το πλήκτρο Ctrl πάρετε ένα σημείο πάνω στο ΑΒΓ και με το "Περιστροφή" βρείτε το συμμετρικό του ως προς την ε
|
|
Παρατηρούμε ότι το συμμετρικό που βρήκαμε ανήκει στο τρίγωνο Α'Β'Γ'. Αν πάρουμε και άλλα σημεία του τριγώνου ΑΒΓ και βρούμε τα συμμετρικά τους ως προς την ε, θα παρατηρήσουμε ότι αυτά ανήκουν στο τρίγωνο Α'Β'Γ'. Αν ήταν δυνατόν να πάρουμε όλα τα σημεία του ΑΒΓ και να βρούμε τα συμμετρικά τους ως προς την ε, αυτά θα "κάλυπταν" το τρίγωνο Α'Β'Γ'. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι: Το τρίγωνο Α'Β'Γ' αποτελείται από τα συμμετρικά όλων των σημείων του τριγώνου ΑΒΓ. Καταλαβαίνουμε τώρα ότι, τα συμμετρικά των σημείων του τριγώνου Α'Β'Γ' είναι τα σημεία του τριγώνου ΑΒΓ. Άρα μπορούμε να πούμε πάλι ότι: Το τρίγωνο ΑΒΓ αποτελείται από τα συμμετρικά όλων των σημείων του τριγώνου Α'Β'Γ'. Δηλαδή για τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' ισχύει ότι: |
Καθένα από τα τρίγωνα αυτά αποτελείται από τα συμμετρικά των σημείων του άλλου τριγώνου ως προς την ευθεία ε.
Γι’ αυτό λέμε ότι:
Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι συμμετρικά ως πρός την ευθεία ε.
 |
Γενικότερα: |
Μετά την περιστροφή του τριγώνου ΑΒΓ γύρω από την ευθεία ε, αυτό ταυτίζεται με το τρίγωνο Α'Β'Γ', άρα είναι ίσα. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:
Τα συμμετρικά ως προς ευθεία σχήματα είναι ίσα.