Διοφαντική Ανάλυση

H συλλογή προβλημάτων του Διόφαντου παρουσιάζει πλατιά ποικιλία και οι λύσεις τους είναι συχνά εξαιρετικά ιδιοφυείς.  
 Η «Διοφαντική Ανάλυση» συνίσταται στην εύρεση απαντήσεων για απροσδιόριστες εξισώσεις, όπως
,
καθώς και για συστήματα από τέτοιες εξισώσεις. Τυπικό γνώρισμα του Διόφαντου ήταν ότι τον ενδιέφεραν μόνο οι θετικές ρητές λύσεις· τις όχι ρητές λύσεις τις ονόμαζε «αδύνατες». Διάλεγε προσεχτικά τους συντελεστές των εξισώσεων, ώστε oι χειρισμοί πού έκανε να τον οδηγούν στη θετική ρητή λύση πού αναζητούσε

Τα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν στην Διοφαντική ανάλυση είναι:
Υπάρχουν λύσεις;
Υπάρχουν λύσεις που κάποιος μπορεί να τις βρει με εικασία;
Υπάρχουν πεπερασμένες ή μη λύσεις ;
Μπορούν όλες οι λύσεις να βρεθούν από την θεωρία;
Μπορεί κάποιος στην πράξη να απαριθμήσει όλες τις λύσεις;

Παραδείγματα εξισώσεων διοφαντικής ανάλυσης

Γραμμική διοφαντική εξίσωση

Για ν=2 υπάρχουν άπειρες λύσεις οι πυθαγόρειες τριάδες. Για ν>2 είναι το τελευταίο του Fermat που λέει ότι δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις χ,y, z που να ικανοποιούν την εξίσωση

Ανάμεσα στις εξισώσεις του, βρίσκουμε και τις

Ανήκουν στο είδος αυτών πού είναι γνωστές με την ονομασία «εξισώσεις του Πέλ» () .
Στο έργο του Διόφαντου βρίσκονται και διάφορες προτάσεις της αριθμοθεωρίας, όπως το θεώρημα ότι, αν δύο ακέραιοι έχουν την ιδιότητα να εκφράζονται ως αθροίσματα δύο τετραγώνων, τότε το γινόμενο τους μπορεί κι αυτό ν' αναλυθεί σε δύο τετράγωνα και μάλιστα με δύο τρόπους. Υπάρχουν επίσης θεωρήματα για την ανάλυση ενός αριθμού σε άθροισμα τριών και τεσσάρων τετραγώνων.

Θα αναφέρουμε ένα προβλήμα από την Αριθμηηκή, ως δείγμα της διοφαντικής ανάλυσης. Στο πρώτο, ζητούμε δύο αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι 20 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 208. Οι άγνωστοι αριθμοί δεν συμβολίζονται με χ και y αλλά με 10 + x και 10-x (σύμφωνα με το σύγχρονο συμβολισμό). Τότε, , άρα χ = 2· έτσι, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 8 και 12.
Στο πρόβλημα αυτό, ο Διόφαντος ασχολείται με μια ορισμένη εξίσωση αλλά χρησιμοποίησε την ίδια διαδικασία και στην απροσδιόριστη ανάλυση. Ας σημειώσουμε εδώ, ότι η παραπάνω λύση είναι σχεδόν μια "μέθοδος" στη δουλειά του Διόφαντου: όταν ζητά δύο αριθμούς που να ικανοποιούν δύο συνθήκες, επιλέγει αυτούς τους αριθμούς έτσι ώστε να ικανοποιούν μία από τις συνθήκες και κατόπιν στρέφει την προσοχή του στη δεύτερη συνθήκη. Με άλλα λόγια, ο Διόφαντος αντί να λύνει ένα σύστημα εξισώσεων δύο αγνώστων, αντιμετωπίζει τις συνθήκες διαδοχικά ώστε μόνο ένας άγνωστος να εμφανίζεται στη λύση.