Leonardo Pisano ή Fibonacci

Γενικά.
Ο Λεονάρντο της Πίζας ή Λεονάρντο Πιζάνο γεννήθηκε το 1170 περίπου και πέθανε 1250 περίπου πιθανώς στην Πίζα.
Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία για την περίφημη φερώνυμη ακολουθία του και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη.
Η ζωή του
Ήταν γιος του Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci, που σημαίνει απλός), εξ ου και το παρώνυμο του Φιμπονάτσι (γιος του Μπονάτσι: φίλιους μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε μερικές φορές το όνομα Μπίγκολο που μπορεί να σημαίνει πολύ για το τίποτα ή ταξιδιώτης.
Όπως ο ίδιος δήλωσε: «Μπορεί ένας επαρχιώτης να εκφράσει με αυτό το επίθετο (Μπίγκολο) την περιφρόνηση για ένα άνδρα που ασχολείται με ερωτήσεις που δεν έχουν καμιά πρακτική αξία ή να εκφράσει, όπως η λέξη αυτή σημαίνει στην διάλεκτο της Τοσκάνης, ένα πολυταξιδεμένο άνδρα. Ποίος πραγματικά είμαι;»
Γεννήθηκε στη Πίζα αλλά εκπαιδεύτηκε στη σχολή λογιστικής στη Βόρεια Αφρική οπού ο πατέρας του κατείχε διπλωματικό πόστο ως εκπρόσωπος των εμπόρων της Πίζας στην πόλη Μπεχάια λιμάνι στη σημερινή Αλγερία στις εκβολές του ποταμού Γουάντι Σουμάμ κοντά στο όρος Γκουράια και στον κόλπο Καρμπόν. Διδάχτηκε Μαθηματικά και ταξίδεψε στην Αίγυπτο στην Συρία και την Ελλάδα με τον πατέρα του γνωρίζοντας τα τεράστια προνόμια των Αραβικών μαθηματικών συστημάτων .

Αυτά τα πρώτα του ταξίδια τελειώνουν γύρω στο 1200 και τότε επιστρέφει στην Πίζα όπου γράφει τα μαθηματικά κείμενα τα οποία είμαστε τυχεροί να κατέχουμε καθώς την εποχή του δεν είχε εφευρεθεί η τυπογραφία. Το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Το βιβλίο του το προόριζε για εμπόρους, για αυτό εξηγεί λεπτομερειακά τις έννοιες ώστε να μπορέσουν να τις καταλάβουν με συνοδεία παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή του εμπορίου, την τιμή των αγαθών, τον υπολογισμό των κερδών και την μετατροπή σε ξένο νόμισμα Στο βιβλίο του έδειχνε την πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματοσυναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και άλλες εφαρμογές του. Οι έμποροι του Μεσαίωνα χρησιμοποιούσαν το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης το οποίο είναι απλό για την καταγραφή αριθμών, την πρόσθεση και την αφαίρεση αλλάς όχι για τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση. Οι έμποροι στις συναλλαγές τους χρησιμοποιούσαν αριθμητικό άβακα, αριθμητήριο για να κάνουν υπολογισμούς

Ο Φιμπονάτσι τους έδωσε ένα λειτουργικό σύστημα ψηφίων (το γνωστό δεκαδικό σύστημα) για τον υπολογισμό των αριθμητικών πράξεων. Καταρχήν περιγράφει τα εννιά δεκαδικά ψηφία καθώς το σύμβολο 0 το οποίο ονομαζόταν ζέφιρουμ στα αραβικά. Από εκεί προέρχονται και οι αγγλικές λέξεις zero.Έτσι το βιβλίο έτυχε θερμής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης και τους επηρέασε σημαντικά αν και το σύστημα έγινε ευρέως χρηστό μετά την εφεύρεση της τυπογραφία O Φιμπονάτσι χρησιμοποίησε την κλασματική γραμμή που ήταν γνωστή από παλιά στην Αραβία.
Ένα ακόμη σημαντικό βιβλίο που διασώζεται είναι το «Practica Geometriae»(πρακτική Γεωμετρία, 1220). Στο βιβλίο αυτό περιέγραψε με όμοιο τρόπο όποια γνώση είχε ανακαλύψει πως υπήρχε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία.. Το βιβλίο αυτό πιθανόν βασίζεται στην αραβική εκδοχή της «Διαίρεσης σχημάτων του Ευκλείδη» που έχει χαθεί. Σ’ αυτό το βιβλίο χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να λύσει αλγεβρικά προβλήματα.

Ο Φιμπονάτσι υπήρξε ερευνητής προικισμένος με πρωτοτυπία , γιατί τα βιβλία του περιέχουν πολλά παραδείγματα που δεν υπάρχουν πανομοιότυπα στην αραβική βιβλιογραφία. Ωστόσο παραπέμπει στον Αλ Χουαρίζμι σε προβλήματα όπως η λύση της χ2+10χ=39.
Το γνωστότερο πρόβλημα που περιέχεται στοLiber abaci ήταν πόσο γρήγορα τα κουνέλια θα μπορούσαν να αναπαραγάγουν στις ιδανικές περιστάσεις.
Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;

Επίσης ο Φιμπονάτσι απέδειξε ότι η λύση της εξίσωσης δεν μπορούν να εκφραστούν διαμέσου των ευκλείδειων άρρητων αριθμών (επομένως δεν μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη) Για την απόδειξη αυτή, Ο Φιμπονάτσι έλεγξε κάθε μια από τις δεκαπέντε περιπτώσεις του Ευκλείδη και έπειτα προσδιόρισε την θετική ρίζα της εξίσωσης, φτάνοντας στην εξηνταδική θέση!!
Ο αυτοκράτορας της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας Φρειδερίκος Β‘ γνώρισε το έργο του Φιμπονάτσι μέσω των λογίων της αυλής του και ζήτησε να συναντήσει τον Φιμπονάτσι στην επίσκεψη του στην Πίζα το 1225.
Ο Ιωάννης του Παλέρμο, ένα άλλο μέλος της αυλής του Φρειδερίκου Β', παρουσίασε στον Φιμπονάτσι έναν αριθμό προβλημάτων προκλήσεων τρία εκ των οποίων όντως έλυσε.

. Απέδειξε ότι η λύση δεν είναι ακέραιη, ούτε κλάσμα, ούτε τετραγωνική ρίζα κλάσματος. Χωρίς να εξηγεί πως δίνει την εξής λύση στο εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης 1.22.7.42.33.4.40 που αν μετατραπεί στο δεκαδικό είναι η 1.3688081075 που τα εννιά δεκαδικά ψηφία είναι σωστά. Δεν ξέρουμε πως το κατάφερε το πιθανότερο είναι να χρησιμοποίησε την σημερινή "μέθοδο Horner" που ήταν ήδη γνωστή στην Κίνα.
Στο Flos , που έγραψε το 1225, υπάρχουν αόριστα προβλήματα που θυμίζουν τον Διόφαντο και προβλήματα που θυμίζουν τον Ευκλείδη, του άραβες και τους Κινέζους.

Στο Liber quadratorum που γράφτηκε το 1225 ο Fibonacci κάνει εντυπωσιάκή δουλειά. Το όνομα του βιβλίου σημαίνει «βιβλίο των τετραγώνων» και είναι βιβλίο θεωρίας αριθμών. H δουλειά του Φιμπονάτσι αγνοήθηκε τον Μεσαίωνα και τα ίδια αποτελέσματα εμφανήστηκαν τριακόσια χρόνια αργότερα από τον Μαυρόλυκο. Σ’ αυτό το βιβλίο ασχολείται με μεθόδους που μας δίνουν Πυθαγόρειες τριάδες. Ο Φιμπονάτσι σημειώνει ότι τετράγωνα αριθμών μπορούν να κατασκευαστούν ως άθροισμα περιττών και ιδιαίτερα περιγράφει την επαγωγική κατασκευή χρησιμοποιώντας τον τύπο Στο ίδιο βιβλίο χρησιμοποιούνται συχνά οι ταυτότητες :
και τις οποίες πρώτος απέδειξε ο Διόφαντος και χρησιμοποίησαν οι Άραβες.
Όμως η ιστορία του μετά από το 1228 είναι αρκετά σκοτεινή καθώς υπάρχει μόνο μια αναφορά του ονόματος του σε διασωθέντα κείμενα κι η οποία είναι ένα έγγραφο μισθοδοσίας το 1240 από την Πολιτεία της Πίζα.