home

Τα σχολικά εγχειρίδια
Στα ελληνικά σχολικά εγχειρίδια έχουν χρησιμοποιηθεί πέντε διαφορετικές προσεγγίσεις για την παρουσίαση των αρνητικών αριθμών. Αυτές είναι: η εξ ορισμού προσέγγιση, η εφαρμογή των μαθηματικών αρχών, η προσέγγιση με φυσικό μοντέλο ερμηνείας, η αναλογική προσέγγιση και η ανακάλυψη με την βοήθεια προτύπου, σύμφωνα με την εύστοχη διάκριση των χρησιμοποιούμενων μοντέλων διδασκαλίας του Χ. Τουμάση (1994). Ενώ η έκταση που καλύπτεται, αγγίζει κατά μέσο όρο τις 35 σελίδες, σύμφωνα με έρευνα του Θωμαΐδη (1998) που καλύπτει μια χρονική περίοδο πενήντα χρόνων και έξι εκδόσεων διδακτικών βιβλίων.
Παρόμοια έκταση καταλαμβάνει η αντιμετώπιση του θέματος και στο νέο σχολικό εγχειρίδιο (2007), που αφιερώνει ένα κεφάλαιο, το έβδομο, συνολικής έκτασης είκοσι τεσσάρων σελίδων (113-146). Στο νέο διδακτικό βιβλίο δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στο να κατανοήσουν οι μαθητές όχι μόνο πώς γίνεται η εκτέλεση των πράξεων, αλλά και γιατί γίνεται με τον τρόπο που γίνεται, δηλαδή στην αιτιολόγηση των σχετικών κανόνων με τη βοήθεια δραστηριοτήτων που χρησιμοποιούν διάφορα φυσικά ή αριθμητικά μοντέλα (Θωμαΐδης, 2007)
Στο νέο σχολικό βιβλίο, η εισαγωγή των αρνητικών αριθμών γίνεται με την βοήθεια φυσικών παραδειγμάτων (θερμοκρασία, ύψος). Για την πρόσθεση χρησιμοποιείται η έννοια της αύξησης και της μείωσης, ενώ για την ερμηνεία του πολλαπλασιασμού χρησιμοποιείται η βοήθεια προτύπου.
Όμως, οι δραστηριότητες που προτείνονται απαιτούν από τον καθηγητή να αφιερώσει αρκετό χρόνο έτσι ώστε να μπορέσει ο μαθητής να ανακαλύψει τις διαφορετικές προσεγγίσεις που προτείνονται. Η αλλαγή των μοντέλων γίνεται σχετικά γρήγορα και προκαλεί χάσμα στη μαθησιακή διαδικασία του μαθητή, ειδικά αν ο καθηγητής δεν καταφέρει να εντάξει τη νέα γνώση στις ήδη υπάρχουσες. Το νέο αναλυτικό πρόγραμμα, το διδακτικό βιβλίο και το βιβλίο του εκπαιδευτικού περιέχουν αξιόλογο υλικό, το οποίο όμως για να αξιοποιηθεί μέσα στους ηλικιακούς και χρονικούς περιορισμούς που έχουν τεθεί απαιτεί μεγάλη διδακτική φαντασία και δεξιοτεχνία (Θωμαΐδης, 2007)
Η Τεχνολογία της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών (ΤΠΕ) μπορεί να σταθεί αρωγός στην προσπάθεια μας, αφού μας δίνει δυνατότητες που δεν είχαμε μέχρι τώρα, σύμφωνα με φιλοσοφικές και παιδαγωγικές θέσεις (Kυνηγός, 1995 ).

Η χρήση της Τεχνολογία της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών

Η εισαγωγή των νέων τεχνολογιών της πληροφορίας και των επικοινωνιών στην εκπαίδευση επιφέρει μια βαθιά αλλαγή στον τρόπο μάθησης και διδασκαλίας (Κασιμάτη κ.α , 2002). Όμως, το γνωστικό αποτέλεσμα των ΤΠΕ δεν θα πρέπει να θεωρείται αυτονόητο. Η απλή χρήση εργαλείων ΤΠΕ δεν εξασφαλίζει από μόνη της τη λειτουργία των υπολογιστών ως γνωστικό εργαλείο (Jonassen, 2000).
Ξέρουμε από τη διεθνή εμπειρία εφαρμογής και έρευνας, ότι οι υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν εκφραστικά εργαλεία από τους μαθητές προσφέροντας νέες δυνατότητες αναβάθμισης μαθησιακών διαδικασιών και πλούτο ευκαιριών για την κοινωνική δόμηση της γνώσης σε οποιοδήποτε μάθημα του αναλυτικού προγράμματος, αλλά και να επιτρέψουν στον εκπαιδευτικό να προβληματιστεί και να συμβάλλει στη ποιοτική εξέλιξη της διδακτικής και μαθησιακής διαδικασίας (Kυνηγός, 1995).
Από την άλλη πλευρά, σήμερα είναι πλέον αποδεκτό ότι οι μαθητές δομούν τη γνώση μέσα από την προσωπική βιωματική εμπειρία, την ανακάλυψη και την κοινωνική αλληλεπίδραση με το περιβάλλον τους και τη στήριξη που λαμβάνουν από αυτό (Bruner, 1987). Η μάθηση θεωρείται πλέον όχι μόνο ως μια διαδικασία ενεργητικής ατομικής δόμησης, το πώς δηλαδή κάθε άτομο μαθαίνει, αλλά και ως μια διαδικασία ένταξης στον πολιτισμό και στις πρακτικές της ευρύτερης κοινωνίας. Η σκέψη αναλύεται αφ' ενός στο επίπεδο των αντιληπτικών διαδικασιών που συμβαίνουν στο άτομο και αφ' ετέρου στην αμοιβαία προσαρμογή στις γνωστικές έννοιες που έχει προσδιορίσει και παγιώσει πολιτιστικά η ευρύτερη κοινωνία (Cobb, 1994).
Στην προσπάθεια μας να δημιουργήσουμε μια διδακτική πρόταση σύμφωνη με τις παραπάνω αρχές και που θα ακολουθεί ένα ενιαίο μοντέλο για την διδασκαλία των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των ακεραίων αριθμών κατασκευάσαμε ένα εκπαιδευτικό παιχνίδι προσπαθώντας να συνδυάσουμε την μάθηση με το παιχνίδι.
Ο ρόλος του υπολογιστή είναι να υποστηρίξει τις πρακτικές μέσω των οποίων αναπτύσσεται και οικοδομείται η γνώση. Τα παιδιά μπορούν να παίξουν δημιουργικά, να αναπτύξουν την φαντασία τους, θα συνθέσουν τις δικές τους ιστορίες και θα αναπτύξουν διάφορες δεξιότητες όπως στρατηγικής, εστίασης προσοχής κ.α. (Κουλαϊδής, 2007).
Στα πλαίσια αυτού του μοντέλου, ο υπολογιστής γίνεται εργαλείο έκφρασης και διερεύνησης στα χέρια και τον έλεγχο των μαθητών (στο Kυνηγός, 1995).
Με την κατασκευή του παιχνιδιού θα εξασφαλίζουμε την τήρηση του χρονοδιαγράμματος του νέου αναλυτικού προγράμματος αφού θα έχουμε οικονομία χρόνου. Επιπλέον ο καθηγητής θα μπορεί να ελέγχει τόσο την αντίδραση όσο και την επίδοση του μαθητή και διαπιστώνει έγκαιρα τις αδυναμίες και να προβαίνει στις ανάλογες διορθωτικές κινήσεις Τέλος, δεν θα πρέπει να ξεχνάμε ότι κύριος αποδέκτης και χρήστης του λογισμικού αυτού θα είναι μαθητές. Γι' αυτό πρέπει να είναι ιδιαίτερα νεανικό, φιλικό έτσι ώστε να συνδυαστεί η αυστηρή μαθηματική διατύπωση με τη νεανική ιδιοσυγκρασία.

Διδακτική προσέγγιση (Θεωρητικά)

Για να μπορεί να επιτευχθεί η εμπλοκή των μαθητών σε αυθεντικές δραστηριότητες που θα έχουν ως σκοπό την ενεργητική μάθηση, την καλλιέργεια δεξιοτήτων υψηλού επιπέδου, την διατύπωση νέων ιδεών, την προώθηση της κριτικής σκέψης και της δημιουργικότητας δημιουργήσαμε ένα εμπειρικό μοντέλο που μπορεί να προσαρμοστεί στις εμπειρίες του μαθητή και το οποίο να καλύπτει πειστικά όλες τις περιπτώσεις, χωρίς όμως να προκαλέσει αιτία για αντιπαλότητες. Δανειστήκαμε ένα σενάριο από την Ελληνική Μυθολογία το οποίο προσαρμόστηκε στις δικές μας διδακτικές ανάγκες. Μέσα από αυτό οι μαθητές θα πρέπει να ανακαλύψουν μόνοι τους κανόνες που διέπουν τις πράξεις των ακεραίων αριθμών. Το σενάριο είναι το ακόλουθο:
Σενάριο* (Για πρόσθεση ακέραιων αριθμών)
Στα χρόνια της Μυθολογίας ζούσαν στην Ελλάδα, οι Τιτάνες που κυβερνούσαν τον κόσμο μέσα από τον τρόμο και τη βία. Όμως κατάφεραν να γεννηθούν οι Ολύμπιοι και θέλησαν να φέρουν το καλό στο κόσμο. Η μάχη για την εξουσία ήταν αναπόφευκτη.
Και τα δύο στρατόπεδα άρχισαν να μαζεύουν δυνάμεις. Οι μεν Ολύμπιοι συγκεντρώνονταν στον Όλυμπο οι δε Τιτάνες στο όρος Όθρη. Η μάχη αρχίζει και κάθε πλευρά από την περιοχή της αρχίζει και πετά γιγάντιες πέτρες με σκοπό να εξουδετερώσει τους αντιπάλους. Ποιος θα είναι τελικά ο νικητής;
Σενάριο* (Για πολλαπλασιασμό ακέραιων αριθμών)
Στην πορεία της μάχης και ενώ οι δυνάμεις αρχίζουν να μεγαλώνουν τόσο οι Ολύμπιοι όσο και οι Τιτάνες αρχίζουν να σχηματίζουν σχηματισμούς γραμμών και στηλών. Όμως στην προσπάθεια τους να μαζευτούν γρήγορα και να ξεφύγουν από τα πυρά των αντιπάλων τους κάποιοι σχηματισμοί χάνουν τον δρόμο τους και περνούν το "μαγικό" ποτάμι. Τότε όμως οι δυνάμεις τους αλλάζουν. Παρακολουθήστε την προσπάθεια για όλο και πιο δυνατούς σχηματισμούς.
Η εφαρμογή του παραπάνω σεναρίου θα μπορούσε να γίνει με διάφορους τρόπους. Ένας ενδεικτικός τρόπος εφαρμογής του θα μπορούσε να γίνει, χρησιμοποιώντας τα πιόνια από ένα τάβλι. Τα άσπρα πιόνια θα έπαιζαν το ρόλο του "καλού", ενώ τα μαύρα του "κακού". Θα μπορούσε επίσης να γίνει και δραματοποίηση, χωρίζοντας σε μαθητές σε ομάδες "καλών" και "κακών". Τότε όμως, οι "καταστάσεις", ιδιαίτερα αυτές του πολλαπλασιασμού, θα είναι χρονοβόρες και πιθανόν να χρειαστεί την βοήθεια κάποιου συναδέρφου.
Η διδακτική πρόταση που θα αναλύσω υλοποιήθηκε στο 2ο Γυμνάσιο Μουζακίου κατά το σχολικό έτος 2006-2007. Για την εφαρμογή του παιχνιδιού απαιτείται η ηλεκτρονική έκδοσή του, την οποία κατασκευάσαμε εξ ολοκλήρου. Μετά την υλοποίηση έγιναν μερικές βελτιώσεις στο λογισμικό.
Η κατασκευή του παιχνιδιού για τον υπολογιστή έχει γίνει με την βοήθεια του λογισμικού Gamemaker 6.0 (http://www.gamemaker.nl). Η τελική μορφή της εφαρμογής είναι διαθέσιμη μέσω του διαδικτύου από την προσωπική μου ιστοσελίδα (http:\\users.sch.gr\theoj). Για να μπορέσει να "τρέξει" το πρόγραμμα χρειάζεται ένα υπολογιστή Pentium PC με λειτουργικό σύστημα Windows 98SE, 2000, Me, XP, ή μεταγενέστερα. Απαιτείται να υπάρχει κάρτα γραφικών συμβατή με DirectX 8 και μνήμη τουλάχιστον 16MB. Η ανάλυση της οθόνης θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 800x600 και 65000 (16-bit) χρώματα. Επίσης, απαιτείται να είναι εγκαταστημένο το DirectX έκδοσης 8.0 ή μεταγενέστερης και να υπάρχει μια συμβατή μ' αυτό κάρτα ήχου.
Σ' όλο το παιχνίδι προσπαθήσαμε να συμπεριλάβουμε όλους τους τρόπους επεξεργασίας των πληροφοριών και αναπαράστασης της γνώσης που σύμφωνα με το Bruner είναι:
1. Η πραξιακή αναπαράσταση, η οποία συνιστά μια παραδειγματική διδασκαλία με την χρήση προτύπων επίδειξης, παιχνίδια ρόλων και παραδειγμάτων.
2. Η εικονιστική αναπαράσταση που συνιστά μάθηση μέσα από εικόνες, σχεδιαγράμματα, σκίτσα και ζωγραφιές κτλ.
3. Η συμβολική αναπαράσταση πραγματοποιείται μέσα από λέξεις, μαθηματικά σύμβολα, σήματα κτλ. (Κουλαϊδής, 2007).
Επίσης, θελήσαμε να παρέχουμε ένα περιβάλλον, µε την βοήθεια του οποίου ο μαθητής μπορεί να αποκτήσει γνώσεις και ικανότητες καταστάσεων και φαινομένων. Οι πληροφορίες που παρέχονται είναι μόνο αυτές που ο μαθητής είναι αδύνατον να ανακαλύψει. Τα ερεθίσματα που δίνονται λειτουργούν ως συμβουλευτικά και ενθαρρυντικά. Σκηνοθετούνται (με το σενάριο) αυθεντικές εμπειρίες και γνωριμίες µε το θεματικό πεδίο.
Η αποτελεσματικότητα της μάθησης έρχεται περισσότερο µέσω των ιδίων εμπειριών του μαθητή, των διαδικασιών δοκιμής και λάθους, των διαδικασιών εξερεύνησης, της ανακάλυψης μοτίβων ή αναλλοίωτων ή άλλων σχέσεων και κυρίως με την εμπειρία που αποκτάται από την "αντιπαράθεση" του μαθητή µε το περιβάλλον.
Στην διδακτική μας πρόταση υιοθετήσαμε ένα μοντέλο απόκτησης γνώσης (Hejny κ.α, 2004) που βασίζεται σε πέντε στάδια.
Ξεκινά με την παρακίνηση και επικεντρώνεται σε δυο νοητικές κλίμακες: η πρώτη οδηγεί από την συγκεκριμένη γνώση στην γενικευμένη γνώση και η δεύτερη στην αφηρημένη. Το μόνιμο αποτέλεσμα της απόκτησης γνώσης είναι η κρυσταλλοποίηση π.χ. ενσωματώνοντας την νέα γνώση στην ήδη υπάρχουσα μαθηματική δομή. Η όλη διαδικασία θα μπορούσε να περιγραφεί με το ακόλουθο σχήμα:

	Αφηρημένη γνώση	Κρυσταλλοποίηση
	αφαίρεση
	Γενικό Μοντέλο
	γενίκευση
Παρακίνηση	Απομονωμένα μοντέλα

Το παιχνίδι "Ολύμπιοι -Τιτάνες"

Στο πρόγραμμα υπάρχουν 4 χώροι που μπορούμε να τους επιλέξουμε από την αρχική σελίδα.

Οι τρεις πρώτοι (Ολύμπιοι, Τιτάνες, Τιτανομαχία) προορίζονται για την διδασκαλία της πρόσθεσης ενώ ο τέταρτος χώρος (Σχηματισμοί) για τον πολλαπλασιασμό.
Για να μπορέσει η εκπαιδευτική διαδικασία "πάρει" το χαρακτήρα παιχνιδιού προσθέσαμε κάποια τέτοια χαρακτηριστικά, όπως για παράδειγμα "ζωές", "σκορ", "λίστα με τα ονόματα των 10 καλύτερων παιχτών".
Όταν το παιχνίδι ξεκινά ο παίχτης έχει τρεις "ζωές". Κάθε φορά που ο μαθητής απαντά σωστά επιβραβεύεται, κερδίζοντας 10 πόντους. Σε περίπτωση λανθασμένης απάντησης χάνει μια ζωή.
Για την άμεση ανατροφοδότηση της μάθησης, μετά από κάθε απάντηση, εμφανίζεται μια οθόνη όπου ο μαθητής βλέπει την λύση.

Το παιχνίδι τελειώνει όταν ο παίκτης κάνει τρία λάθη. Στο τέλος και αν ο μαθητής έχει συγκεντρώσει ικανοποιητική βαθμολογία έχει την δυνατότητα να γράψει το όνομα του στην λίστα των 10 δημοφιλέστερων παιχτών.
Όταν ξεκινά ένας χώρος και πριν ο μαθητής αρχίσει να "παίζει" εμφανίζεται ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που εξηγεί το σενάριο του παιχνιδιού.

Πρόσθεση ακεραίων
Αρχικά θα ζητήσουμε από τους μαθητές να επιλέξουν το χώρο "Ολύμπιοι". Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το παράδειγμα με τους Ολύμπιους Θεούς.

Αρχικά (αριστερά) ήταν 2 Ολύμπιοι και στη συνέχεια προστέθηκαν σε αυτούς άλλοι 3. Θα εξηγήσουμε στους μαθητές ότι στην γλώσσα των μαθηματικών οι Ολύμπιοι θα συμβολίζονται με το "+" (καλοί) ενώ οι κακοί Τιτάνες με το σύμβολο "-". Οπότε το παράδειγμα θα μεταφραζόταν στη γλώσσα των μαθηματικών +2+3 οπότε τελικά θα είχαμε πέντε Ολύμπιους ή συμβολικά +5. Αυτό συμβαίνει γιατί σύμφωνα με το σενάριο οι Ολύμπιοι (θετικοί) συγκεντρώνουν τις δυνάμεις τους.
Θα ζητήσουμε από τους μαθητές να συνεχίσουν επιλέγοντας "Εξάσκηση". Μέσα από τις διαδικασίες σωστού - λάθους οι μαθητές θα κάνουν την πρώτη αφαίρεση.
Κατόπιν οι μαθητές θα επιλέξουν τον χώρο των "Τιτάνων" για να τους γνωρίσουν και με όμοιο τρόπο να μετρήσουν την αριθμητική δύναμη αυτών. Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το παράδειγμα με τους Τιτάνες.

Αρχικά (αριστερά) ήταν 2 Τιτάνες και στη συνέχεια προστέθηκαν σε αυτούς άλλοι 3. Οπότε στη γλώσσα των μαθηματικών θα μεταφράζαμε -2-3=-5
Η εξήγηση είναι παρόμοια μ' αυτή των Ολύμπιων θεών γιατί σύμφωνα με το σενάριο οι Τιτάνες (αρνητικοί) συγκεντρώνουν και αυτοί τις δυνάμεις τους .
Τέλος θα ζητήσουμε από τα παιδιά να πάνε στον τρίτο χώρο την Τιτανομαχία όπου και θα γίνει η μάχη ανάμεσα στους Τιτάνες και τους Ολύμπιους.
Στο παράδειγμα που εμφανίζεται, βλέπουμε 2 Τιτάνες που μάχονται με τρεις Ολύμπιους οπότε στην γλώσσα των μαθηματικών θα λέγαμε -2+3. Στην μάχη θα επικρατήσουν οι περισσότεροι. Σε ποιο βαθμό θα κερδίσουν; Μπορούν να πιέσουν το κουμπί "Μάχη" για να δουν το αποτέλεσμα. Τελικά, προφανώς θα μείνει ένας Ολύμπιος ή συμβολικά +1 ή απλά 1.
Μετά από κάθε παράδειγμα εμφανίζονται διαφορετικές καταστάσεις τις οποίες καλούνται να μεταφράσουν στην μαθηματική γλώσσα και να δώσουν το αποτέλεσμα. Θα ζήσουμε από τους μαθητές να κάνουν τουλάχιστον πέντε παραδείγματα σε κάθε χώρο.
Το παιχνίδι στους τρεις χώρους στην πραγματικότητα αντιστοιχεί στην πρόσθεση ακεραίων αριθμών. Μπορεί να αφιερωθεί μια διδακτική ώρα για τους τρεις πρώτους χώρους. Εκτός από την εισαγωγή, την επίδειξη και το παιχνίδι των παιδιών στους τρεις χώρους σκόπιμο είναι να ακολουθήσει συζήτηση με σκοπό να γενικεύσουμε τα αποτελέσματά μας.
Ενδεικτικές ερωτήσεις που μπορούν να τεθούν είναι: Αν τα συμπεράσματα θα είχαμε και σε ομάδες με μεγαλύτερο αριθμό από 12; Θα μπορούσε κάτι ανάλογο να συμβεί με άλλους χαρακτήρες και όχι μόνο με τους Ολύμπιους και Τιτάνες; Αν θα μπορούσε να συμβεί και σε μη ακέραια κομμάτια;
Θα ζητήσουμε επίσης από τους μαθητές να "βγάλουν" γενικούς κανόνες που να ερμηνεύουν τις τρεις περιπτώσεις. Για να πετύχουμε την δεύτερη αφαίρεση θα πρέπει να τους δώσουμε ένα φύλλο εργασίας στο οποίο θα υπάρχουν απλές εφαρμογές των παραπάνω έτσι ώστε να ελέγξουμε αν μπορούν να εφαρμόσουν τους γενικούς κανόνες που δημιούργησαν.
Σαν συνθετική εργασία για το σπίτι θα μπορούσε να ζητηθεί να κατασκευαστεί ένα poster που να περιγράφει παρόμοιες καταστάσεις αλλά με τα "αγαπημένα" και τα "μισητά" προς αυτούς αντικείμενα. Οι μαθητές είναι σκόπιμο να δημιουργήσουν ένα δικό τους σενάριο βασισμένο στο "καλό" και το "κακό".

Πολλαπλασιασμός ακεραίων
Με όμοιο τρόπο θα συνεχίσουμε (σε δεύτερη διδακτική ώρα) το σενάριο του πολλαπλασιασμού. Ο συμβολισμός που ακολουθείται στην "γλώσσα" των μαθηματικών είναι λίγο διαφορετικός αλλά αποτελεί προέκταση του προηγούμενου.
Οι σχηματισμοί θα πρέπει να δηλώνονται μέσα σε παρενθέσεις και σ' αυτές θα πρέπει να γράφεται ο αριθμός των γραμμών και των στηλών. Το πρόσημο της πρώτης παρένθεσης συνεχίζει να συμβολίζει τους Τιτάνες ή τους Ολύμπιους. Στην δεύτερη όμως παρένθεση το πρόσημο θα δηλώνει αν ο σχηματισμός βρίσκεται στην περιοχή του ή όχι. Με "+" θα συμβολίζουμε το γεγονός: "ο σχηματισμός να παραμένει στην περιοχή του", οπότε θα είναι έτοιμος για μάχη. Ενώ με "-" θα συμβολίζουμε το ενδεχόμενο: "ο σχηματισμός να έχει χάσει το δρόμο του", οπότε το "μαγικό" ποτάμι θα τους μεταμορφώσει, με αποτέλεσμα να δρουν ανάποδα στην μάχη.
Ξεκινώντας την εφαρμογή του πολλαπλασιασμού θα εμφανιστεί μια οθόνη η οποία θα περιέχει τα παραδείγματα των τεσσάρων δυνατών ενδεχομένων (1ο ενδεχόμενο:++=+ , 2ο ενδεχόμενο:-+=- , 3ο ενδεχόμενο:--=+ , 4ο ενδεχόμενο:+-=- ).

Ενδεχόμενο 1ο Σχηματισμός Ολύμπιων στην περιοχή τους.

Στο παράδειγμα θα εμφανιστούν τρεις γραμμές και δυο στήλες Ολύμπιων και θα παραμείνουν ακίνητοι. Συμβολικά θα γράφαμε (+3)(+2). Έχουμε λοιπόν 6 Ολύμπιους έτοιμους να πολεμήσουν για το "καλό" δηλαδή αποτέλεσμα +6.

Ενδεχόμενο 2ο. Σχηματισμός Τιτάνων στην περιοχή τους.
Στο παράδειγμα θα εμφανιστούν τρεις γραμμές και δυο στήλες Τιτάνων και θα παραμείνουν ακίνητοι. Συμβολικά θα γράφαμε : (-3)(+2). Οπότε υπάρχουν 6 Τιτάνες δηλαδή αποτέλεσμα -6.

Ενδεχόμενο 3ο. Σχηματισμός Τιτάνων στην αντίπαλη περιοχή.
Στο παράδειγμα θα εμφανιστούν τρεις γραμμές και δυο στήλες Τιτάνων που θα μετακινηθούν στην αντίπαλη περιοχή. Συμβολικά θα γράφαμε:
(-3)(-2). Περνώντας το "μαγικό ποτάμι" θα αλλάξουν μορφή. Οπότε στο τέλος, θα έχουμε 6 Ολύμπιους δηλαδή αποτέλεσμα +6.

Ενδεχόμενο 4ο. Σχηματισμός Ολύμπιων στην αντίπαλη περιοχή.

Στο παράδειγμα θα εμφανιστούν τρεις γραμμές και δυο στήλες Ολύμπιων που θα μετακινηθούν στην αντίπαλη περιοχή. Συμβολικά θα γράφαμε (+3)(-2). Περνώντας το "μαγικό ποτάμι" θα αλλάξουν μορφή. Οπότε τελικά έχουμε 6 Τιτάνες δηλαδή αποτέλεσμα -6.
Μετά την επίδειξη των παραδειγμάτων οι μαθητές θα περάσουν στην εξάσκηση πιέζοντας το αντίστοιχο "κουμπί". Είναι σκόπιμο να γίνουν τουλάχιστον είκοσι δοκιμές από κάθε μαθητή. Θα πρέπει να αφιερωθεί χρόνος για να βγουν γενικοί κανόνες και να ενταχθούν οι νέες γνώσεις στις ήδη υπάρχουσες. Επίσης, θα πρέπει οι μαθητές να κάνουν εφαρμογή των γενικών κανόνων που δημιούργησαν μέσα από φύλλο εργασίας που θα τους μοιράσουμε. Ο καθηγητής θα "κινηθεί" με τρόπο ανάλογο με αυτό που περιγράψαμε κατά την πρόσθεση των ακεραίων.

Το μοντέλο θα πρέπει να συνεχίζεται και να στηρίζεται και μετά την υλοποίηση (κρυσταλλοποίηση). Επίσης είναι βασικό σ' όλη την προσπάθεια μας να μην ξεχνάμε ή να αμελούμε κάποιο από τα πέντε στάδια της διδακτικής πορείας.

Τέλος, θα ήθελα να αναφερθώ στο κλίμα που επικράτησε τόσο κατά την διάρκεια της εφαρμογής αλλά και μετά από αυτή. Το κλίμα κάτι παραπάνω από θετικό, τόσο κατά την προετοιμασία όσο και κατά την υλοποίηση της δραστηριότητας. Οι μαθητές ενθουσιάστηκαν κάνοντας κάτι διαφορετικό. Συμμετείχαν ενεργά σ' όλα τα στάδια. Ακόμα και μαθητές που σε άλλα μαθήματα δεν έδειχναν ενδιαφέρον, ενεργοποιήθηκαν. Οι ΤΠΕ "αύξησαν" την ενεργή συμμετοχή των μαθητών αφού τα γραφικά και οι ήχοι σχολιάστηκαν θετικά και τράβηξαν το ενδιαφέρον των περισσότερων μαθητών. Ο πρώτος στόχος της δραστηριοποίησης του μαθητή θεωρώ ότι επιτεύχθηκε απόλυτα με την χρήση των ΤΠΕ.
Επίσης ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση της εφαρμογής είναι πολύ μικρότερος από αυτόν που θα απαιτούσε ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας.
Το σύνολο των παιδιών, όπως διαπιστώσαμε από τις απαντήσεις που έδωσαν για την αξιολόγηση της δραστηριότητας, χαρακτήρισε το μάθημα ενδιαφέρον και διαφορετικό. Αναφέρουν ότι μέσα από το παιχνίδι κατάφεραν να κατανοήσουν δύσκολες για αυτά μαθηματικές έννοιες. Το σενάριο της δραστηριότητας βοήθησε τους μαθητές να ανακαλύψουν και να χειρίζονται νέες έννοιες. Οι ομάδες των παιδιών κατάφεραν να δημιούργησαν δικές τους ιστορίες τις οποίες απεικόνισαν σε διάφορα poster ως εργασία για το σπίτι. Η πιο συνηθισμένη ιστορία είναι αυτή ανάμεσα σε γατάκια και σκυλάκια που μαλώνουν.
Επίσης, κάποιοι μαθητές προβληματίστηκαν πάνω σε έννοιες που δεν είχαν τονιστεί κατά την διδασκαλία. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί μαθητής που παρατήρησε ότι η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει σύμφωνα με το σενάριο του πολλαπλασιασμού!
Κατά την διάρκεια της χρονιάς το μοντέλο δρούσε υποστηρικτικά αφού το σύνολο των μαθητών το θυμόταν και έτσι μπορούσαμε να επιστρέψουμε σε αυτό σαν ένα σημείο εκκίνησης.
Το μεγαλύτερο όφελος από την δραστηριότητα αυτή είναι ότι οι εμπλεκόμενοι μαθητές προσέγγισαν τα μαθηματικά από διαφορετική οπτική. Αισθάνθηκαν ότι τα μαθηματικά "βρίσκονται" γύρω μας, όπως άλλωστε συμβαίνει με το "καλό" και το "κακό". Οι περισσότεροι από αυτούς έπαψαν να σκέφτονται τα μαθηματικά σαν μια δουλειά που πρέπει να γίνει κατά την διάρκεια ενός μαθήματος που φέρει τον τίτλο "μαθηματικά" (Ηejny κ.α, 2004) αλλά σαν κάτι που μπορεί να εξηγήσει ή να απεικονίσει τις εμπειρίες που αποκτούν μέσα από το σπίτι, παίζοντας με τους φίλους τους το αγαπημένο τους παιχνίδι!!

Βιβλιογραφία

· Boyer , B. , Merzbach, U. (1997). H ιστορία των μαθηματικών, Αθήνα: Πνευματικός.

· Bruner, J.(1987). Making sense. The child construction of the world. New York: Methuem

· Cobb,P.(1994).Where in the Mind? Constructivist and Sociocultural Perspectives on Mathematical Development. In Educational Researcher ,7(23),13-20.

· Hejny, M. , Jirotkova, D., Kubinova, M., Littler, G. , Stehlikova, N. (2004). EMTISM – Empowering Mathematics Teachers for the improvement of school Mathematics. A course on constructivist Teaching Approaches. Theory and Practice. Praha: Univerzita Karlova v Praze –Pedagogicka Fakulta.

· Jonassen D.H (2000).Computers as mind tools for schools: engaging critical thinking, NZ: Prentice-Hall

· Θωμαίδης, Γ. (1998). Επιμορφωτικό Υλικό για το πρόγραμμα Σύγχρονες Κατευθύνσεις εμπλουτισμού της μαθηματικής παιδείας, Θεσσαλονίκη.

· Θωμαΐδης, Γ. (2007). Μια ανάλυση προβλημάτων της Διδακτικής των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο. Εισήγηση στο Σεμινάριο Επιμόρφωσης Επιμορφωτών. Θεσσαλονίκη.

· Κασιμάτη, Κ. Φερεντίνος, Σ. Καλλιγάς, Χ. (2002) Εισαγωγή καινοτομιών στη διδακτική πρακτική . Νέες τεχνολογίες και εκπαιδευτικός. Μέντορας ,6, σ. 29-46

· Κουλαϊδής , Β. (2007). Διδακτικό υλικό του τόμου: «Σύγχρονες διδακτικές προσεγγίσεις για την ανάπτυξη Κριτικής – Δημιουργικής σκέψης για την Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση». Αθήνα: Ο.ΕΠ.ΕΚ

· Κυνηγός, Χ. (1995). Η Ευκαιρία που δεν πρέπει να χαθεί: Η Υπολογιστική Τεχνολογία ως εργαλείο Έκφρασης και Διερεύνησης στη Γενική Παιδεία. στο Kαζαμίας και Kασσωτάκης (επ) “Προοπτικές για μια νέα Πολιτική στην Ελληνική Εκπαίδευση”. Αθήνα

· Τουμάσης, Μπ. (1994). Σύγχρονη Διδακτική των μαθηματικών, Αθήνα: Gutenberg

Κατέβασε το πρόγραμμα και"παίξε"με τους θετικούς και τους αρνητικούς ακεραίους αριθμούς

Επιστροφή στην αρχική σελίδα