John inside

Tετραγωνική  ρίζα

Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζα αριθμού

Η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού όταν τη χρειαστούμε είναι πανεύκολη. Με ένα απλό κομπιουτεράκι εφ΄όσον έχει αυτή την επιλογή (συνήθως την έχουν όλα) πληκτρολογούμε τον αριθμό και μετά το πλήκτρο με τη    και αμέσως στην οθόνη εμφανίζεται το αποτέλεσμα.
Πριν εδραιωθούν οι υπολογιστές υπήρχαν έντυποι πίνακες με τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών. Στα απλά σχολικά βοηθήματα υπήρχε πίνακας με τις τετραγωνικές ρίζες από το 1 έως το 100. Για επιστημονικές ανάγκες υπήρχαν ειδικά βιβλία με τις τετραγωνικές ρίζες από 1 έως 100.000 και πλέον. Είχαν αναπτυχθεί και μέθοδοι που με την βοήθεια αυτών των πινάκων μπορούσε κάποιος προσεγγιστικά να υπολογίσει και για μεγαλύτερους αριθμούς από τους ευρισκόμενους στους πίνακες. Σε παλαιότερα χρόνια στο σχολείο διδασκόταν μια επαναληπτική διαδικασία (αλγόριθμος) που σχηματικά θύμιζε τον αλγόριθμο της διαίρεση πιο σύνθετο όμως. Όλα αυτά όμως ανήκουν στο παρελθόν.
Πως όμως ένας υπολογιστής υπολογίζει την ρίζα οιαδήποτε τάξης σε κλάσματα δευτερολέπτου και μάλιστα με προσέγγιση πολλών δεκαδικών ψηφίων; Ο υπολογισμός γίνεται με εφαρμογή επαναληπτικών προσεγγιστικών διαδικασιών.
Στη συνέχεια παραθέτουμε μια τέτοια διαδικασία για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας αριθμού. Πρώτα όμως το μαθηματικό υπόβαθρο.

 

 

Εισαγωγή

Οι λύσεις της εξίσωσης  όπου θ>0 είναι το ζεύγος

Αν ο θ είναι ένας από τους τετράγωνους αριθμούς 1,  4=2²,  9=3²,  16=4²,  25=5²,  36=6²,  49=7², 64=8²,  81=9²,  100=10²,  121=11¹,  144=12²,  169=13²,  196=14²,  225=15², … η απάντηση είναι απλή, πχ:  αλλά αν δεν είναι τότε η εύρεση του  μας οδηγεί στους άρρητους αριθμούς που είναι δεκαδικοί αριθμοί με απεριόριστο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.

            Στην προσπάθεια εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού, το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων προσδιορίζει και την ακρίβεια προσέγγισης του.

 

Παράδειγμα

Έστω ότι αναζητούμε την  

Επειδή  1<3<4  προφανώς ισχύει

Στο παράδειγμα  με    οι τιμές: 1 < 1,7 < 1,73 <  1,732 < … < x_ν  < x_ν+1  <… <   προσεγγίζουν από τα αριστερά την τιμή του    γι’ αυτό χαρακτηρίζονται ως “κατ’ έλλειψη”  προσεγγίσεις.

Δηλαδή ο ζητούμενος δεκαδικός αριθμός θα είναι της μορφής 1,δδδδδδδδδ… ο οποίος πάντα θα είναι μικρότερος από την   είναι λοιπόν μια “κατ’ έλλειψη” προσέγγιση.

 

Παρατηρούμε ότι αυξανομένου του ν η διαφορά (x_ν+1 – x_ν)² μειώνεται ραγδαία

(x₂ – x₁)² = (1,7-1)² = 0,7² = 0,49

(x₃ – x₂)² = (1,73-1,7)² = 0,03² = 0,0009

(x₄ – x₃)² = (1,732-1,73)² = 0,002² = 0,000004

Γενικά ισχύει

 

Επαναληπτική διαδικασία για την προσέγγιση “κατ’ έλλειψη” της τετραγωνικής ρίζας του θ

            Έστω                …< x_ν  < x_ν+1  < … <                          

Δεχόμαστε ότι      είναι    και

x_ν+1=   ή   

Αναπτύσσουμε την ταυτότητα  

 

                         

                       

                                      

                         

 

Αυτός είναι και ο τύπος της επαναληπτικής διαδικασίας

            Μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με όποια γλώσσα προγραμματισμού θέλουμε για να υπολογίσουμε την   

 

Εφαρμογή του τύπου σε πίνακα

            Στον πίνακα που ακολουθεί ζητήθηκε να προσδιοριστεί η ρίζα του    με 12 δεκαδικά ψηφία.

Αρχική τιμή του x δόθηκε x=1  και θ = 3

Αν στην 5^η στήλη του πίνακα επανεμφανιστεί ο ίδιος αριθμός τότε στη δεξιά στήλη εμφανίζεται η ένδειξη «Οκ» σημάδι που ειδοποιεί ότι βρέθηκε η ζητούμενη κατ΄ έλλειψη προσέγγιση με 12 δεκαδικά ψηφία. Στον πίνακα η ζητούμενη προσέγγιση βρέθηκε στο 5_ο βήμα και επιβεβαιώνεται στο 6_ο βήμα.

ν	x	θ/x	(θ/x)+x	[(θ/x)+x ]* 1/2	?
1	1	3,000000000000	4,000000000000	2,000000000000	?
2	2,000000000000	1,500000000000	3,500000000000	1,750000000000	?
3	1,750000000000	1,714285714286	3,464285714286	1,732142857143	?
4	1,732142857143	1,731958762887	3,464101620029	1,732050810015	?
5	1,732050810015	1,732050805123	3,464101615138	1,732050807569	?
6	1,732050807569	1,732050807569	3,464101615138	1,732050807569	Ok

 

Ανάρτηση βασισμένη σε μελέτη του 1974 - Ι.Τ. ( 19 Ιουνίου 2023)