Μαθήματα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διδακτικοί Στόχοι: Οι μαθητές πρέπει:

1. Να κατανοήσουν τη συνάρτηση η οποία ορίζεται με τη βοήθεια ολοκληρώματος συνεχούς συνάρτησης με μεταβλητό άνω άκρο, δηλαδή τη συνάρτηση με τύπο

2. Να διαπιστώσουν ότι η συνάρτηση αυτή είναι μια παράγουσα της f στο Δ και ότι ισχύει  

3. Με την βοήθεια του παραπάνω θεωρήματος να ανακαλύψουν μια εύκολη μέθοδο για τον υπολογισμό ορισμένου ολοκληρώματος.

4. Να εφαρμόσουν τη μέθοδο αυτή για τον υπολογισμό απλών ολοκληρωμάτων.

Διδακτικός χρόνος: 1 διδακτική ώρα.

Πορεία διδασκαλίας:

• Ο/Η(Δ) ρωτάει τους μαθητές ποια είναι η γεωμετρική σημασία του ορισμένου ολοκληρώματος με f συνεχή συνάρτηση στο [α,β] και .
• Στη συνέχεια ζητάει από τους μαθητές να εκφράσουν την άποψή τους για τι τι μπορεί να σημαίνει το σύμβολο . Οι μαθητές μπορούν να βοηθηθούν από τα παρακάτω σχήματα:

• Ορίζεται η συνάρτηση .
• Ο/Η(Δ) μοιράζει στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας (βλέπε παρακάτω) και τους προτρέπει - καθοδηγεί να το συμπληρώσουν.
• Το πρώτο μέρος είναι η εποπτική παρουσίαση και αισθητοποίηση της ύπαρξης παράγουσας μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ.
• Στο δεύτερο μέρος, Ο/Η (Δ) προτρέπει τους μαθητές να αξιοποιήσουν το παραπάνω αποτέλεσμα για να ανακαλύψουν ένα τρόπο υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος, βρίσκοντας πρώτα μια παράγουσα της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης.

• Ο/Η (Δ) βοηθάει τους μαθητές να εμπεδώσουν τα παραπάνω, ζητώντας τους να υπολογίσουν απλά ορισμένα ολοκληρώματα όπως
  

• Δίνονται κάποιες ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο σαν εργασία για το σπίτι π.χ. : Α΄ Ομάδα : 1 ii, iv, 6,   B΄ ομάδα 1, 8, καθώς και το εξής ερώτημα:
     
  Εάν ,    τότε F'(x)= ....................

Φ Υ Λ Λ Ο  Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Σ

Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

Όταν h --> 0 τότε και

Επομένως ,    , δηλαδή F'(x) =_____________

Εάν G είναι μια οποιαδήποτε παράγουσα της  f στο Δ=[α,β], τότε :

G(x)-F(x)=____________   (1)

Εφαρμόζουμε την σχέση (1) για χ=α και έχουμε :

_________________________________________________________________

Οπότε  c=G(    )       ,    Ομοίως για χ=β και έχουμε G(β)=______________

Και τελικά        

© Μπάμπης Τουμάσης