Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΗΜΙΤΟΝΩΝ

Ο νόμος των ημιτόνων είναι μια μαθηματική σχέση η οποία συνδέει τα μέτρα των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του, με μεγάλη χρησιμότητα για την επίλυση του τριγώνου και πολλές εφαρμογές στη Γεωμετρία και Τριγωνομετρία.

Η κομψότητα αυτής της σχέσης συνιστά ένα από εκείνα τα παραδείγματα που φανερώνουν την ομορφιά των μαθηματικών και προξενούν έκπληξη όσο και θαυμασμό στον κάθε μελετητή.

Το αίσθημα του θαυμασμού και της ικανοποίησης, γίνεται ακόμη μεγαλύτερο όταν προσφέρεται στον μαθητή η ευκαιρία της επαναανακάλυψης μέσω κατάλληλα επιλεγμένων δραστηριοτήτων, οι οποίες θα τον βοηθήσουν να φθάσει στο επιδιωκόμενο αποτέλεσμα.

Ο σχεδιασμός της διδασκαλίας ποικίλει ανάλογα με τη σχολική βαθμίδα, το υπόβαθρο, τα ενδιαφέροντα και την ωριμότητα των μαθητών. Παρακάτω θα περιγράψουμε δυο διδακτικές προσεγγίσεις, οι οποίες διευκολύνουν την επαναανακάλυψη αυτού του πολύτιμου μαθηματικού λίθου, εξασφαλίζοντας παράλληλα και την ενεργητική συμμετοχή των μαθητών.

1^η προσέγγιση με χρήση Η/Υ ( Γυμνάσιο )

Σενάριο διδασκαλίας

· Οι μαθητές εργάζονται ανά δύο στο εργαστήριο Η/Υ του σχολείου και υποτίθεται ότι είναι εξοικειωμένοι με τα βασικά μενού ενός δυναμικού γεωμετρικού προγράμματος όπως, για παράδειγμα, το Cabri ή το Sketchpad.

· Τους παροτρύνουμε να φτιάξουν ένα τυχαίο τρίγωνο και να καταγράψουν τις μετρήσεις των μηκών των πλευρών του, α,β,γ και των ημιτόνων των γωνιών του, ημΑ, ημΒ, ημΓ. Στη συνέχεια να προσπαθήσουν να βρουν μια σχέση , η οποία να συνδέει τα ζεύγη (α, ημΑ), (β, ημΒ)και (γ, ημΓ).

Κατά τη διάρκεια της εξερεύνησης, βοηθάμε διακριτικά τους μαθητές με υποδείξεις γυρνώντας από πάγκο σε πάγκο. Εάν κανένα ζευγάρι δεν σκεφτεί να συγκρίνει τους λόγους , τότε το υποδεικνύουμε εμείς.
Προτείνουμε στη συνέχεια να γίνει πινακοποίηση των αποτελεσμάτων για τις διάφορες περιπτώσεις των τριγώνων( Βλέπε σχήμα 1)

[ κάνετε κλικ εδώ για να δείτε το αντίστοιχο αρχείο].

· Αφού ανακαλυφθεί ο νόμος και διατυπωθεί η εικασία, γίνεται προσπάθεια να αποδειχθεί. Τα μαθηματικά δεν είναι μόνο εμπειρική τέχνη οποία συλλέγει τα αποτελέσματά της με επαγωγικό τρόπο, αλλά κυρίως αξιωματική επιστήμη, η οποία θεμελιώνει τα επαγωγικά συμπεράσματα με παραγωγικό τρόπο μέσω της μαθηματικής απόδειξης.

Οι μαθητές μπορούν να οδηγηθούν στην απόδειξη του νόμου, στην περίπτωση οξυγώνιου τριγώνου, συμπληρώνοντας τα κενά στην παρακάτω δραστηριότητα.

Σχήμα 2

Σχήμα 3

Στα ορθ. τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΔΓ του σχήματος 2 ισχύει ,

Συγκρίνατε τους λόγους και. . Ισχύει ότι _____________________

Στο ορθογ.τρίγωνο ΑΒΔ του σχήματος 3 ισχύει Συγκρίνατε τους λόγους και . Ισχύει ότι ______________________

Από (1) και (2) _________________________________________________

Δηλαδή σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι

Σχήμα 1 : Ένα παράδειγμα της εργασίας στο Sketchpad

2^η προσέγγιση (Λύκειο )

Το σενάριο διδασκαλίας εκτυλίσσεται στη βάση του παρακάτω φύλλου εργασίας. Ο/Η Δάσκαλος/λα ενθαρρύνει τους μαθητές να το συμπληρώσουν και με κατάλληλες ερωτήσεις καθοδηγεί τη νοητική τους δραστηριότητα.