Δυνάμεις αριθμών

Στοιχεία από το παρελθόν

Aπό τα χρόνια της αρχαιότητας πριν τη χρονολογία γέννησης του Χριστού, διάφοροι λαοί (Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Έλληνες, Κινέζοι), είχαν αρχίσει να ξεχωρίζουν τους πολλαπλασιασμούς που οι παράγοντές τους ήταν ίσοι αριθμοί (π.χ. κ.λ.π.), από τους κοινούς πολλαπλασιασμούς που οι παράγοντές τους διέφεραν μεταξύ τους. Κάτι ανάλογο βέβαια είχαν σκεφθεί πιο πριν και για τα αθροίσματα με προσθετέους τον ίδιο αριθμό (π.χ. ) που και αυτά τα έδιναν περισσότερη σημασία από τα άλλα τα αθροίσματα που οι προσθετέοι διέφεραν μεταξύ τους. Κατάρτιζαν μάλιστα και πίνακες τόσο για τα γινόμενα του ίδιου αριθμού, όσο και για τα αθροίσματα με προσθετέους τον ίδιο αριθμό. Από τους δεύτερους πίνακες αργότερα προήλθε η πράξη του πολ/σμού και από τους πρώτους πολύ αργότερα η έννοια της δύναμης.

Στον Πάπυρο του Αχμές-Ρίντ (Αρχαίο μαθηματικό αιγυπτιακό χειρόγραφο που φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου) διαβάζουμε ένα πρόβλημα:

Σε καθένα από 7 σπίτια ζούν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντικούς, κάθε ποντικός τρώει 7 στάχυα, από κάθε στάχυ μπορούμε να γεμίσουμε 7 δοχεία σιτάρι. Πόσα είναι όλα τα δοχεία;

Απάντηση: Με τους σημερινούς συμβολισμούς για τις δυνάμεις τα δοχεία είναι: δοχεία.

Από την επεξεργασία αυτού και άλλων προβλημάτων καταλαβαίνουμε ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, όχι μόνο αντιλαμβάνονταν την έννοια της δύναμης αλλά γνώριζαν και τη διαδικασία με την οποία υπολογίζεται ένα πεπερασμένο άθροισμα από δυνάμεις που κάθε προσθετέος προκύπτει από την προηγούμενη δύναμη, αν τη πολλαπλασιάσουμε με τη βάση της

(π.χ. ).

Η σκέψη μας πάει στο μέχρι τις μέρες μας παιδικό νανούρισμα:

“Όταν πήγαινα στο Σαιντ Άϊβς

Συνάντησα έναν άνθρωπο με εφτά συζύγους,

Κάθε μια τους είχε εφτά σάκους

Κάθε σάκος είχε εφτά γάτες

Κάθε γάτα είχε εφτά γατάκια.

Γατάκια, γάτες, σάκοι και γυναίκες,

Πόσοι όλοι όλοι πήγαιναν στο Σαιντ Άϊβς;”

Μπορείτε να συσχετίσετε την απάντηση του συνολικού αριθμού έμβιων ταξιδιωτών (γατιών και ανθρώπων) και ταξιδιωτικών αντικειμένων (σάκων), με το προηγούμενο παράδειγμα του αθροίσματος των δυνάμεων του εφτά; Είναι εκπληκτικό πως μπορεί να διατηρείται μέσα στους αιώνες το είδος αυτό των προβλημάτων.

Μήπως όμως και άλλοι αρχαίοι λαοί όπως οι Βαβυλώνιοι, Κινέζοι, Έλληνες δεν συσχέτιζαν την έννοια της δύναμης με γεωμετρικά προβλήματα, όπως αυτά π.χ. του υπολογισμού του εμβαδού του τετραγώνου με πλευρά α (), του όγκου του κύβου με ακμή α () κ.ά.;

Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς (250 μ.χ.) είναι ο πρώτος που εισάγει στο περίφημο έργο του Αριθμητικά, ανάλογους με τους σημερινούς συμβολισμούς για τις δυνάμεις. Ήταν επίσης γνωστή στον Διόφαντο η έκφραση οποιασδήποτε δύναμης: π.χ. ο 32 λέγεται πρώτος άλογος (ούτε τετράγωνος, ούτε κύβος) και ακόμη αριθμός πέμπτος ().

O Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650) εισήγαγε δυνάμεις με εκθέτη ανώτερο του 2 και χρησιμοποιούσε γι’ αυτές συμβολισμούς παρόμοιους με τους σημερινούς. Ήδη όμως από αρκετό χρόνο χρησιμοποιούνταν δυνάμεις με κλασματικούς εκθέτες. Στον Γάλλο Ορέμ (1323-1382) βρίσκουμε προτάσεις με τέτοιου είδους δυνάμεις και τις ιδιότητές τους.

Στοιχεία από τη Θεωρία

Τους ορισμούς που δίνουμε για μια μαθηματική έννοια, τους δεχόμαστε χωρίς απόδειξη, αλλά επειδή πάνω τους στηρίζονται οι ιδιότητες, η σχέση με άλλες έννοιες, εφαρμογές, πρέπει να τους κατανοούμε σε βάθος, να διαισθανόμαστε την αξία τους και όχι να τους απομνημονεύουμε μηχανικά.

Θεωρούμε σαν πρωταρχικό ορισμό για την έννοια της δύναμης τον εξής: . Βάσει του πρώτου αυτού ορισμού και μιας ιδιότητας που αποδεικνύεται με αυτόν της διαίρεσης δυνάμεων με την ίδια βάση, μπορούν να εξηγηθούν δύο επόμενοι ορισμοί, δηλ. οι: και με α .

Ας προσπαθήσουμε να δούμε αν ισχύει η ιδιότητα που μας λέει ότι: όταν έχουμε να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, βάζουμε βάση την ίδια και εκθέτη τη διαφορά των εκθετών, με μία διαίρεση δυνάμεων του 3, που ο εκθέτης της δύναμης του Διαιρετέου ο 5, είναι μεγαλύτερος από τον εκθέτη της δύναμης του διαιρέτη, τον 2.

Έχουμε διαδοχικά τις ισότητες:

=

= [ Το κλάσμα εκφράζει διαίρεση ]

= [έγινε η ανάλυση σε παράγοντες του 3 με τον 1ο ορισμό]

= [απλοποιήσαμε γιατί η πράξη μεταξύ των αριθμών που

διαγράφηκαν και των όρων που μένουν στον αριθμητή, είναι πολ/σμός]

= [αντικαταστήσαμε τον εκθέτη 3 με τη διαφορά 5-2].

Μπορείτε στη θέση του 3, να πάρετε ένα οποιοδήποτε αριθμό διαφορετικό του μηδέν και στη θέση των δύο εκθετών 5, 2 δύο άλλους εκθέτες με θετική διαφορά και θα διαπιστώσετε με ανάλογη διαδικασία ότι η ιδιότητα ισχύει.

Τι γίνεται στην περίπτωση που η διαφορά των εκθετών είναι αρνητική και μάλιστα -1;

Η παραπάνω ιδιότητα ισχύει; Ας δούμε ένα παράδειγμα: .

Στο σημείο αυτό καταλαβαίνουμε την αναγκαιότητα ενός τέταρτου ορισμού για τις δυνάμεις

με εκθέτη τον -1. Έτσι αν είχαμε ορίσει: , α που για το παράδειγμά μας είναι: = , η ιδιότητα και πάλι ισχύει γιατί ο εκθέτης του 6 είναι: -1 = 4-5 δηλ. τη διαφορά των δύο εκθετών.

Ερώτηση: Μπορείτε με χρήση των ιδιοτήτων της ύψωσης κλάσματος σε δύναμη (ο παρονομαστής διαφορετικός του 0), της ύψωσης δύναμης σε άλλη δύναμη (που και αυτές οι ιδιότητες με συγκεκριμένα παραδείγματα μπορούμε να δούμε ότι ισχύουν χρησιμοποιώντας μόνο τον πρώτο ορισμό) να διαπιστώσετε την αλήθεια των ισοτήτων;

α) = β) = και γ) = ;

Αν διαιρέσουμε τώρα δύο δυνάμεις με την ίδια βάση έτσι ώστε η διαφορά των εκθετών τους να είναι η μονάδα, παίρνουμε π.χ. . Έτσι δείξαμε ότι και στη θέση του 8 μπορεί να έχουμε ένα οποιοδήποτε αριθμό διαφορετικό του μηδέν, άρα και ο δεύτερος ορισμός ισχύει.

Το ότι είναι αληθινό, το δεχόμαστε χωρίς να το αποδείξουμε με παρόμοιο τρόπο μιας και δεν μπορούμε να έχουμε μια διαίρεση με διαιρέτη 0. Θυμίζουμε εδώ ότι δεν μπορούμε να εκτελέσουμε τη διαίρεση: με α , γιατί αν υποθέσουμε ότι ήταν δυνατό να βρούμε ένα πηλίκο π, και υπόλοιπο u , σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης, θα ήταν α = 0 + u , u <0 δηλ.ένας αριθμός α - u (γιατί;) είναι ίσος με τον αριθμό 0 = 0, που είναι άτοπο.

Ο τρίτος ορισμός που δώσαμε για τη δύναμη με βάση τον ρητό ή πραγματικό αριθμό

α και εκθέτη τον φυσικό ν=0, ήταν ο εξής: με α .

Δύο σημεία του ορισμού χρειάζονται διευκρίνιση. Διερωτηθήκατε άραγε γιατί το αποτέλεσμα της δύναμης είναι 1 και ότι α ;

Ας θεωρήσουμε τη διαίρεση δύο ίδιων δυνάμεων που εκφράζεται από ένα κλάσμα με ίσους όρους π.χ. . Το κλάσμα όμως αυτό είναι ίσο με τη μονάδα γιατί έχει ίσους όρους αριθμητή και παρονομαστή. Έτσι = 1 (1).

Είναι ακόμα (2) [σύμφωνα με την ιδιότητα της διαίρεσης δυνάμεων με την ίδια βάση, που δείξαμε παραπάνω ότι ισχύει μόνο με τον πρώτο ορισμό ()].

Από τις ισότητες (1) και (2) είναι προφανές ότι . Στη θέση του 2 μπορεί να έχουμε οποιοδήποτε αριθμό διαφορετικό του 0 και με παρόμοιους συλλογισμούς καταλήγουμε ότι η ισότητα με α ισχύει πάντα.

Τι γίνεται όμως όταν α=0; Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να υπολογίσουμε π.χ. το πηλίκο , γιατί έχουμε μια διαίρεση με διαιρέτη τον 0 και διαίρεση με το 0 δεν γίνεται, (αφού στη περίπτωση αυτή όποιον αριθμό το υποτιθέμενο πηλίκο και να πολ/σουμε με το διαιρέτη = 0, δίνει τον διαιρετέο = 0). Λέμε λοιπόν ότι είναι απροσδιόριστη μορφή.

Ασκήσεις

1. Να γράψετε τις παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης

i) Α= (Aπ. Α=)

ii) Β= (Απ. Β=)

iii) Γ= (Απ. Γ=)

Υπόδειξη: i) Παρατηρήστε ότι ο 16 και 64 είναι δυνάμεις του 4. Εκφράστε τις δύο δυνάμεις με βάσεις τους προηγούμενους αριθμούς σαν δυνάμεις του 4 και εφαρμόστε ιδιότητες των δυνάμεων για να καταλήξετε σε μία δύναμη με βάση τον 4.

2. Να δείξετε ότι:

i)

ii)

3. Nα υπολογίσετε το x όταν είναι:

i) (Aπ. x=5)

ii) (Aπ. x=3)

4. Nα γράψετε με μορφή μιας δύναμης τις παραστάσεις

I) Α= (Απ. Α=)

ii) B= (Aπ. Β=(σύνολο ακεραίων))

iii) Γ=

(Απ. Γ=σύνολο φυσικών εκτός του 0)

5. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= αν οι αριθμοί x, y είναι αντίστροφοι. (Απ. Α=1)

6. Να δείξετε ότι η παρακάτω παράσταση είναι ανεξάρτητη του φυσικού ν και να τη γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης.

Α= (Απ. Α=)

Βιβλιογραφία για το ιστορικό σημείωμα:

(1) Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών Τόμος Α΄ (Εκδόσεις Παγουλάτος Αθήνα 1973),

(2) Συνοπτική ιστορία μαθηματικών Dirk J. Struik

(Ι. Ζαχαρόπουλος Σύγχρονη φιλοσοφική βιβλιοθήκη Αθήνα 1982).

 


Πίσω στην σελίδα επιλογών Μαθηματικών και Πληροφορικής