Μία άσκηση στα παραλληλογραμμα

Αυτό το δυναμικό φύλλο εργασίας του Geogebra, 
γράφηκε από τον Στέργιο Τουρναβίτη τον Απρίλιο του 2018.

Είναι η άσκηση 7 σελίδα 118, από το βιβλίο: 
Ευκλείδια Γεωμετρία, έκδοση ΟΕΔΒ 1999.

Οδηγίες κατασκευής

Για να μεταβάλλουμε την απόσταση της κορυφής Α από την βάση ΒΓ σύρουμε το ρ πάνω στον δρομέα.
Για να αλλάξουμε την τιμή της γωνίας ω (όλες με πράσινο χρώμα) την σύρουμε πάνω στον αντίστοιχο δρομέα.
Αν κυλίσουμε το ΒΓ, μεταβάλλεται η απόσταση του Γ από το Β.
Σημείωση: Οι παράμετροι ρ, ΒΓ βρίσκονται σε αμοιβαία επίδραση μεταξύ τους.
Για να δείτε τις διάφορες θέσεις του Δ πάνω στη ΒΓ και ότι το άθροισμα ΔΕ+ΔΖ παραμένει σταθερό,
επιλέξτε το Δ και κρατώντας πατημένο το αρστερό κουμπί του ποντικιού σας, σύρετέ το.

Εμφάνιση δεικτών

Εμφάνιση κειμένων

Λίγα λόγια για την λύση της άσκησης

α) Τα σημεία Ε και Ζ προσδιορίζονται γιατί τα τρίγωνα ΔΒΖ, ΓΔΕ είναι κατασκευάσιμα,
αφού γνωρίζουμε δύο γωνίες τους (την ω και τις παρά την βάση $\hat{Β}=\hat{Γ}$, του ισοσκελούς)
άρα και την τρίτη γωνία που δεν είναι άλλη από την δ του 1ου κειμένου και με στυλ γεμίσματος
στο σχήμα, της σκακέρας. Επίσης η θέση του Δ δίνεται, άρα και η ΔΒ και η ΔΓ. 
Με την βοήθεια του 2ου κριτηρίου ισότητας τριγώνων (ΓΠΓ) μπορούμε να τα κατασκευάσουμε.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
β) Φέρουμε τις ΒΗ // ΔΕ και ΔΘ // ΑΓ. Λόγω του παραλληλογράμμου ΔΘΗΕ και της ισότητας 
των τριγώνων ΒΖΔ και ΒΘΔ, το ζητούμενο άθροισμα ΔΕ+ΔΖ=ΘΗ+ΒΘ=ΒΗ=σταθερό. 

ΒΓ = 1.4 (slider from 1 to 5, step 0.2)
Β: (-20, -10)
A = (-6.818322890035168, 6.232913889928035)
B = (-9.616657967208416, 6.148115857286421)
C = (-8.39556629716918, 7.199611462042433)
E = (-6.671881775545052, 7.885037351805898)
F = (-9.328751686783614, 7.760884552215312)
Γ: (x(Β) + 9 + ΒΓ, y(Β))
f = Segment(Β, Γ)
ρ = 21.6 (slider from (2 * f) to (2 * f) + 2, step 0.1)
c = Circle(Β, ρ)
d = Circle(Γ, ρ)
H_1, Α = Intersect(d, c)
g = Segment(Β, Α)
h = Segment(Α, Γ)
ω = 0.9773843811168246 rad (slider from 36° to 80°, step 1°)
Δ = Point(f)
φ = Angle(Α, Γ, Β)
δ: 180° - (φ + ω)
text1: "δ=180°-(φ+ω)=180°-(" + (LaTeX[φ]) + "+" + (LaTeX[ω]) + ")=" + (LaTeX[δ]) + ""
Β' = Rotate(Β, (-δ), Δ)
α = Angle(Β', Δ, Β)
Γ' = Rotate(Γ, δ, Δ)
β = Angle(Γ, Δ, Γ')
i = Ray(Δ, Β')
j = Ray(Δ, Γ')
Ε = Intersect(j, h)
Ζ = Intersect(i, g)
k = Segment(Δ, Ζ)
l = Segment(Δ, Ε)
γ = Angle(Β, Ζ, Δ)
ε = Angle(Δ, Ε, Γ)
sfg: l + k
m = Line(Β, l)
H = Intersect(m, h)
n = Segment(Β, H)
p = Line(Δ, h)
Θ = Intersect(n, p)
q = Segment(Δ, Θ)
ζ = Angle(Β, Θ, Δ)
η = Angle(Β, H, Γ)
D = (-8.547891083449954, 7.873813012962332)
G = (6.522549412877728, 7.892769541888532)
a = false
θ = Angle(Θ, Δ, Β)
ι = Angle(Γ, Β, Ζ)
b = false
e = false
κ = Angle(Δ, Β, Θ)
o = false
r = Segment(Β, Θ)
s = Segment(Θ, H)
t = Segment(Ε, H)
f_1 = Segment(Β, Ζ)
text2: "Το άθροισμα ΔΕ+ΔΖ=" + l + "+" + k + "=" + sfg + " (παραμένει σταθερό) ανεξάρτητο από τη θέση του Δ.
Όταν μεταβάλλουμε το τρίγωνο ΑΒΓ με κάποια από τις παραμέτρους ρ, ΒΓ, ή την γωνία ω,
φυσικά αλλάζει και το άθροισμα: ΔΕ+ΔΖ."

Tool: Υψος Τριγώνου (command ΥψοςΤριγώνου2)
Επιλέξτε τις κορυφές του τριγώνου με τελευταία αυτή που αντιστοιχεί στο επιθυμητό ύψος
Input: B, Γ, A
Output: j, l, Δ, α

k = Line(B, Γ)
i = OrthogonalLine(A, k)
Δ = Intersect(((-(x(i) / y(i))) * x) - z(i) / y(i), k, 1)
j = Segment(A, Δ)
l = Segment(Δ, B)
A' = Rotate(A, (-(90°)), Δ)
α = Angle(A', Δ, A)

Tool: Υψος Τριγώνου (command ΥψοςΤριγώνου)
Επιλέξτε τις κορυφές του τριγώνου με τελευταία αυτή που αντιστοιχεί στο επιθυμητό ύψος
Input: B, Γ, A
Output: j, l, Δ, α

k = Line(B, Γ)
i = OrthogonalLine(A, k)
Δ = Intersect(((-(x(i) / y(i))) * x) - z(i) / y(i), k, 1)
j = Segment(A, Δ)
l = Segment(Δ, B)
A' = Rotate(A, (-(90°)), Δ)
α = Angle(A', Δ, A)