Καλαϊτζή Βασιλική e-class: maths

Το ακτίνιο (rad) είναι μονάδα μέτρησης της γωνίας. Ένα ακτίνιο (1 rad) είναι η επίπεδη γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη ορίζει τόξο, σε οποιοδήποτε κύκλο, με μήκος ίσο με την ακτίνα του.

O μικρολατινογράμματος αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε") είναι ένας ασύμμετρος άρρητος αριθμός που λαμβάνεται ταυτόχρονα ως βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός του Όυλερ (Euler) ή σταθερά του Ναπιέρ. Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:

e (διεθνώς) ? 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352, και ελληνικά ? 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.

• Ο αριθμός e, καθώς και ο αριθμός π (που είναι ο λόγος περιφέρειας προς τη διάμετρο κύκλου), χαρακτηρίζονται υπερβατικοί ασύμμετροι αριθμοί, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο έχοντας συντελεστές ακεραίους όπου ρίζες του να είναι ο e, ή ο π.

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).

Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.

Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται γενικά με την έννοια της δομής. Πιο συγκεκριμένα, αντικείμενα της άλγεβρας είναι σύνολα στα οποία έχουν οριστεί πράξεις μεταξύ των στοιχείων τους.

Πηγή: Βικιπαίδεια

Αλγεβρική παράσταση ή αλγεβρική έκφραση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς και μεταβλητές. Μπορεί να λείπουν οι αριθμοί, όχι όμως οι μεταβλητές. Αν λείπουν οι μεταβλητές τότε πρόκειται για αριθμητική παράσταση.

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς, τότε προκύπτει μια αριθμητική παράσταση. Η τιμή της αριθμητικής αυτής παράστασης λέγεται και τιμή της αλγεβρικής παράστασης για τις συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών της.

Στην λογική, αξίωμα ή αρχή είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. Έτσι, αξίωμα είναι μια λογική πρόταση, της οποίας η αλήθεια θεωρείται δεδομένη και χρησιμεύει ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται.

Στα μαθηματικά, ο όρος αξίωμα χρησιμοποιείται με δυο σχετικές αλλά διαφορετικές έννοιες: τα «λογικά» και «μη λογικά» αξιώματα. Και στις δύο περιπτώσεις, αξίωμα είναι μια μαθηματική πρόταση που χρησιμεύει ως αρχή για το συμπέρασμα άλλων προτάσεων με λογικό τρόπο. Αντίθετα με τα θεωρήματα, τα αξιώματα δεν μπορούν γενικά να παραχθούν με αρχές επαγωγής (εκτός αν πλεονάζουν), ούτε γίνεται να αποδειχθούν, αφού αποτελούν αρχικά σημεία: δεν υπάρχει κάτι από το οποίο να απορρέουν (τότε θα ήταν θεωρήματα).

Τα λογικά αξιώματα είναι συνήθως προτάσεις που γίνονται αποδεκτές ως καθολικά αληθείς (π.χ. το Α και Β συνεπάγεται το Α). Τα μη-λογικά αξιώματα (π.χ. a + b = b + a) ορίζουν ιδιότητες για την περιοχή κάποιας συγκεκριμένης μαθηματικής θεωρίας (όπως η Αριθμητική). Όταν χρησιμοποιείται με αυτή την έννοια, η λέξεις «αξίωμα», «αρχή» και «υπόθεση» σημαίνουν το ίδιο. Γενικά, ένα μη-λογικό αξίωμα δεν είναι μια προφανής αλήθεια, αλλά μάλλον μια τυπική λογική έκφραση που χρησιμοποιείται σε επαγωγικούς συλλογισμούς για την ανάπτυξη μιας μαθηματικής θεωρίας. Η διαδικασία του να δειχθεί ότι όλες οι προτάσεις μιας θεωρίας ή ενός συστήματος μπορούν να παραχθούν από ένα μικρό αριθμό από προτάσεις (τα αξιώματα) λέγεται αξιωματικοποίηση της θεωρίας. Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι να αξιωματικοποιηθεί μια μαθηματική περιοχή.

Το σύνολο αυτό υπόκειται σε δύο περιορισμούς: α)τα αξιώματα να είναι συμβιβαστά, και β)ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ακόμη θα πρέπει το πλήθος των αξιωμάτων να είναι όσο το δυνατό λιγότερο.

Εκτός της λογικής και των μαθηματικών, ο όρος «αξίωμα» μπορεί να αναφέρεται αόριστα σε οποιαδήποτε τεκμηριωμένη αρχή.

Αριθμός είναι το σύμβολο που αναπαριστά, κατά κύριο λόγο, ποσότητα ή ποιοτική αξία. Χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά και στις θετικές επιστήμες. Συχνά αναφέρεται και ως νούμερο.

Κάλλιστα μπορεί να αναφερθεί πως οι αριθμοί αποτελούν το βασικό αλφάβητο των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη χωρικών σχέσεων, δηλαδή σχέσεων μεταξύ σχημάτων που έχουν ιδιότητες όπως μήκος και όγκο και εκτείνονται στο χώρο. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι από την αρχαιότητα χαρακτήριζαν το χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών εννοιών, όπως είναι η επιφάνειες οι γραμμές και τα σημεία. Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η Γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών. Οι Αρχαίοι Έλληνες, θεωρώντας ότι τα Μαθηματικά πρέπει να είναι διαχωρισμένα από την εμπειρική γνώση οδηγήθηκαν στη θεμελίωση του πρώτου αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών, αυτό της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.^[1] Πιο συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης περίπου το 300 π.Χ. με το βιβλίο του "Στοιχεία" που το αποτελούσαν 13 τόμοι, ήταν ο πρώτος που τοποθέτησε τη γεωμετρία σε αξιωματική βάση, δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος «Ευκλείδεια γεωμετρία».

Είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της αντίθετης πλευράς

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.Χ. - 265 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος αλλα κυρίως οργανωτής που συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους.

Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ' ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο. Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του (η βάση της οποίας είναι: έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α) ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία».

Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.

Στα μαθηματικά, ένα θεώρημα είναι μια πρόταση που αποδεικνύεται με βάση προηγουμένως αποδεκτές ή αποδεδειγμένες προτάσεις όπως τα αξιώματα.

Στην τυπική μαθηματική λογική, η έννοια θεώρημα μπορεί να ερμηνευθεί ως μια μαθηματική πρόταση που μπορεί να παραχθεί σύμφωνα με τους συμπερασματικούς κανόνες ενός συγκεκριμένου τυπικού συστήματος. Οι προτάσεις μιας θεωρίας όπως εκφράζονται σε μια τυπική γλώσσα ονομάζονται τα στοιχειώδη θεωρήματά της, και λέγεται ότι είναι αληθή.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. Ειδική περίπτωση ορθογωνίου είναι το τετράγωνο.

Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία. Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα πι της λέξης «περιφέρεια» και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.

Στην Ευκλείδεια επιπεδομετρία, το π μπορεί να οριστεί είτε ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, είτε ως ο λόγος του εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου. Τα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών ορίζουν το π αναλυτικά χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα ως το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει ημ(x) = 0, ή ως δύο φορές το μικρότερο θετικό x για το οποίο ισχύει συν(x) = 0. Όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Ο Αρχιμήδης καθόρισε την πρώτη επιστημονικά αποδεδειγμένη μέθοδο με την οποία υπολογίζεται ο αριθμός.

Συνήθως χρησιμοποιείται η προσέγγιση π ? 3,14. Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Παραλληλόγραμμο στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη).

Πολύγωνο στην γεωμετρία είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη

Το πόρισμα είναι μια πρόταση που συνεπάγεται με μικρή ή και καθόλου απόδειξη από ένα άλλο θεώρημα ή ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι η πρόταση Β είναι πόρισμα της πρότασης Α αν η Β μπορεί γρήγορα να συναχθεί από την Α.

Η πρόταση είναι μία δήλωση που δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο θεώρημα. Αυτός ο όρος μερικές φορές υπονοεί για μια δήλωση ότι έχει απλή απόδειξη ή ότι είναι βασική συνέπεια ενός ορισμού που χρειάζεται να δηλωθεί αλλά είναι αρκετά εμφανής ώστε να μην χρειάζεται απόδειξη. Η λέξη πρόταση μερικές φορές χρησιμοποιείται για το δηλωτικό μέρος ενός θεωρήματος.

Ο Πυθαγόρας ο Σαμιος, υπήρξε σημαντικός έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων, που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις. Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή, αλλά που εικάζεται πως είναι μεταξύ των ετών 580 - 572 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε μεγάλη ηλικία, περί το 500 - 490 π.Χ.

Ρόμβος στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Ειδική περίπτωση ρόμβου είναι το τετράγωνο.

Τρίγωνο στη γεωμετρία είναι ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα το οποίο ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων.

Η Υπατία (370-416 μ.Χ.) ήταν Ελληνίδα νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός. Έζησε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια όπου και δολοφονήθηκε από όχλο που αποτελούνταν από φανατικούς χριστιανούς.

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%B1%CF%84%CE%AF%CE%B1

Γενικά ύψος ονομάζεται η κατακόρυφη απόσταση από τη βάση μέχρι την κορυφή ενός αντικειμένου. Με τον ίδιο όρο χαρακτηρίζεται και η οποιαδήποτε έξαρση της ξηράς από την επιφάνεια της θάλασσας, ή και από την ίδια την επιφάνεια της ξηράς, σε αντιδιαστολή του βάθους, π.χ. ύψος του Πύργου του Άϊφελ.
Στη Γεωμετρία, τόσο στα επίπεδα σχήματα όσο και στα στερεά ύψος ονομάζεται η απόσταση από τη γραμμή ή την έδρα (αντίστοιχα) που λαμβάνεται ως βάση μέχρι του σημείου που θεωρείται ως κορυφή του σχήματος ή του στερεού ή της γραμμής ή της έδρας που αποτελεί την αντιτακτή βάση του στερεού. Έτσι για παράδειγμα ύψος τριγώνου ονομάζεται η απόσταση από τη βάση μέχρι της έναντι αυτής κορυφής του και που φέρεται ως κάθετη στη βάση.

• Το ύψος είναι μία από τις τρεις διαστάσεις παντός υλικού σώματος και βρίσκεται είτε με απ΄ ευθείας μέτρηση, είτε εξ υπολογισμού βάσει γεωμετρικών ή τριγωνομετρικών ή άλλων μεθόδων κατ΄ αντικείμενο επιστημών.