Καλαϊτζή Βασιλική e-class: maths

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσο αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).

Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.

Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται γενικά με την έννοια της δομής. Πιο συγκεκριμένα, αντικείμενα της άλγεβρας είναι σύνολα στα οποία έχουν οριστεί πράξεις μεταξύ των στοιχείων τους.

Πηγή: Βικιπαίδεια

Αλγεβρική παράσταση ή αλγεβρική έκφραση είναι μια σειρά πράξεων με αριθμούς και μεταβλητές. Μπορεί να λείπουν οι αριθμοί, όχι όμως οι μεταβλητές. Αν λείπουν οι μεταβλητές τότε πρόκειται για αριθμητική παράσταση.

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς, τότε προκύπτει μια αριθμητική παράσταση. Η τιμή της αριθμητικής αυτής παράστασης λέγεται και τιμή της αλγεβρικής παράστασης για τις συγκεκριμένες τιμές των μεταβλητών της.

Στην λογική, αξίωμα ή αρχή είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. Έτσι, αξίωμα είναι μια λογική πρόταση, της οποίας η αλήθεια θεωρείται δεδομένη και χρησιμεύει ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται.

Στα μαθηματικά, ο όρος αξίωμα χρησιμοποιείται με δυο σχετικές αλλά διαφορετικές έννοιες: τα «λογικά» και «μη λογικά» αξιώματα. Και στις δύο περιπτώσεις, αξίωμα είναι μια μαθηματική πρόταση που χρησιμεύει ως αρχή για το συμπέρασμα άλλων προτάσεων με λογικό τρόπο. Αντίθετα με τα θεωρήματα, τα αξιώματα δεν μπορούν γενικά να παραχθούν με αρχές επαγωγής (εκτός αν πλεονάζουν), ούτε γίνεται να αποδειχθούν, αφού αποτελούν αρχικά σημεία: δεν υπάρχει κάτι από το οποίο να απορρέουν (τότε θα ήταν θεωρήματα).

Τα λογικά αξιώματα είναι συνήθως προτάσεις που γίνονται αποδεκτές ως καθολικά αληθείς (π.χ. το Α και Β συνεπάγεται το Α). Τα μη-λογικά αξιώματα (π.χ. a + b = b + a) ορίζουν ιδιότητες για την περιοχή κάποιας συγκεκριμένης μαθηματικής θεωρίας (όπως η Αριθμητική). Όταν χρησιμοποιείται με αυτή την έννοια, η λέξεις «αξίωμα», «αρχή» και «υπόθεση» σημαίνουν το ίδιο. Γενικά, ένα μη-λογικό αξίωμα δεν είναι μια προφανής αλήθεια, αλλά μάλλον μια τυπική λογική έκφραση που χρησιμοποιείται σε επαγωγικούς συλλογισμούς για την ανάπτυξη μιας μαθηματικής θεωρίας. Η διαδικασία του να δειχθεί ότι όλες οι προτάσεις μιας θεωρίας ή ενός συστήματος μπορούν να παραχθούν από ένα μικρό αριθμό από προτάσεις (τα αξιώματα) λέγεται αξιωματικοποίηση της θεωρίας. Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι να αξιωματικοποιηθεί μια μαθηματική περιοχή.

Το σύνολο αυτό υπόκειται σε δύο περιορισμούς: α)τα αξιώματα να είναι συμβιβαστά, και β)ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ακόμη θα πρέπει το πλήθος των αξιωμάτων να είναι όσο το δυνατό λιγότερο.

Εκτός της λογικής και των μαθηματικών, ο όρος «αξίωμα» μπορεί να αναφέρεται αόριστα σε οποιαδήποτε τεκμηριωμένη αρχή.

Αριθμός είναι το σύμβολο που αναπαριστά, κατά κύριο λόγο, ποσότητα ή ποιοτική αξία. Χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά και στις θετικές επιστήμες. Συχνά αναφέρεται και ως νούμερο.

Κάλλιστα μπορεί να αναφερθεί πως οι αριθμοί αποτελούν το βασικό αλφάβητο των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.