Modele de urne

L`une des raisons de l`intérêt pour ce modèle d`urne plutôt élaborée (c.-à-d. avec la duplication et le remplacement de chaque balle tirée) est qu`il fournit un exemple dans lequel le comte (initialement x noir et y blanc) de balles dans l`urne n`est pas caché , qui est en mesure de rapprocher la mise à jour correcte des probabilités subjectives appropriées à un cas différent dans lequel le contenu original de l`urne est dissimulé alors que l`échantillonnage ordinaire avec le remplacement est effectué (sans la boule-duplication Pólya). En raison de la simple “échantillonnage avec le remplacement” schéma dans ce deuxième cas, le contenu de l`urne est maintenant statique, mais cette plus grande simplicité est compensée par l`hypothèse que le contenu de l`urne est maintenant inconnu à un observateur. Une analyse bayésienne de l`incertitude de l`observateur sur le contenu initial de l`urne peut être effectuée, en utilisant un choix particulier de distribution (conjuguée) préalable. Plus précisément, supposons qu`un observateur sache que l`urne ne contient que des boules identiques, chacune colorée soit en noir soit en blanc, mais il ne connaît pas le nombre absolu de balles présentes, ni la proportion qui sont de chaque couleur. Supposons qu`il détient des croyances antérieures sur ces inconnues: pour lui, la distribution de probabilité du contenu de l`urne est bien approximée par une certaine distribution préalable pour le nombre total de balles dans l`urne, et une distribution bêta préalable avec des paramètres (x, y) pour le proportion initiale de ceux qui sont noirs, cette proportion étant (pour lui) considérée approximativement indépendamment du nombre total. Ensuite, le processus des résultats d`une succession de tirages de l`urne (avec remplacement, mais sans la duplication) a approximativement la même loi de probabilité que le régime de Pólya ci-dessus dans lequel le contenu réel de l`urne n`a pas été caché de lui. L`erreur d`approximation ici est liée au fait qu`une urne contenant un nombre fini connu m de balles ne peut bien sûr pas avoir une proportion inconnue de balles noires exactement bêta-distribuée, puisque le domaine des valeurs possibles pour cette proportion se limite à être multiple de 1/m {displaystyle 1/m}, plutôt que d`avoir la pleine liberté d`assumer n`importe quelle valeur dans l`intervalle continu d`unité, comme serait une proportion exactement bêta distribuée.