Το πρόσημο του Τριωνύμου g(x)=ax²+bx+c, a≠0.

Εφαρμογή 1η:
f(x)=x²-4x+3,   
a=1>0,  Δ=4>0
x1=1,   x2=3.

Από την γραφική παράσταση αυτή διαπιστώνουμε ότι:
1.  Το τριώνυμο μηδενίζεται στα σημεία  x1=1  και  x2=3,  
     δηλαδή στις ρίζες του.
2.  Το τριώνυμο είναι θετικό για τιμές του  x  μεγαλύτερες 
      του  x2=3  ή  μικρότερες του  x1=1.
3.  Το τριώνυμο είναι αρνητικό για τιμές του  x  μεταξύ 
      των τιμών  x1=1  και  x2=3.

Εφαρμογή 2η:
f1(x)=-x²-14x-48,
Δ=4>0,
x1=-8,  x2=-6 

Από την γραφική παράσταση αυτή διαπιστώνουμε ότι:
1.  Το τριώνυμο μηδενίζεται στα σημεία  x1=-8 και  x2=-6,
      δηλαδή στις ρίζες του.
2.  Το τριώνυμο είναι θετικό για τιμές του  x  μεταξύ  των 
     τιμών:   x1=-8  και  x2=-6. 
3.  To τριώνυμο είναι αρνητικό για τιμές του  x  μικρότερες 
      του  x1=-8  ή για τιμές του  x 
      μεγαλύτερες του  x2=-6.

Εφαρμογή 3η:
φ(x)=-x²-4x-4
a=-1<0,  Δ=0
x0=-2

Από τη γραφική παράσταση του τριωνύμου φ(x)=-x²-4x-4
διαπιστώνουμε ότι:
1.  Το τριώνυμο  φ(x)=-x²-4x-4  μηδενίζεται στο σημείο x0=-2,
     δηλαδή στην διπλή του ρίζα και είναι:
2.  Αρνητικό για κάθε  x≠-2.
 

Εφαρμογή 4η:
φ1(x)=x²-16x+64
a=1>0, Δ=0
x0=8.

Από τη γραφική παράσταση του τριωνύμου φ1(x)=x²-6x+9
διαπιστώνουμε ότι:
1.  Μηδενίζεται στη θέση της διπλής του ρίζας  x0=8 και
2.  Είναι θετικό για κάθε  x≠8.

Εφαρμογή 5η:
h(x)=-x²+6x-10
a=-1<0,  Δ<0.

Από τη γραφική παράσταση του τριωνύμου  h(x)=-x²+6x-10
διαπιστώνουμε ότι:
1.  Το τριώνυμο  h(x)=-x²+6x-10 δεν μηδενίζεται πουθενά,
     αφού δεν έχει ρίζες στο  IR, και:
2.  Είναι αρνητικό για κάθε  x∈IR.

Εφαρμογή 6η:
h1(x)=x²+4x+5,   a=1>0,  Δ<0.

Από τη γραφική παράσταση του τριωνύμου h1(x)=x²+4x+5
διαπιστώνουμε ότι:
1.  Δεν μηδενίζεται πουθενά, αφού δεν έχει ρίζες στο  IR.
2.  Είναι θετικό για κάθε  x∈IR. 

Πρόσημο Τριωνύμου
g(x)=ax²+bx+c,  a≠0
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:   Δ>0.

Το τριώνυμο μηδενίζεται στις θέσεις των ριζών του
x1, x2  ( x1<x2)   και:
1.  Είναι ομόσημο του  a  για τιμές του  x εκτός του 
     διαστήματος των ριζών του.
2.  Είναι ετερόσημο του  a  για τιμές του  x  μεταξύ των 
     ριζών του.
Δηλαδή:   ag(x)>0 για κάθε  x<x1   ή   x>x2   και
                 ag(x)<0  για κάθε  x∈IR  με:   x1<x<x2

Πρόσημο Τριωνύμου
g(x)=ax²+bx+c,  a≠0
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:   Δ=0.

Το τριώνυμο μηδενίζεται στη θέση της διπλής του ρίζας
x0, και:
Είναι ομόσημο του  a  για κάθε  x≠x0.
Δηλαδή:   ag(x)≥0  για κάθε  x∈IR.

Πρόσημο του τριωνύμου
g(x)=ax²+bx+c,  a≠0.
Περίπτωση:  Δ<0

Το τριώνυμο δεν μηδενίζεται, αφού δεν έχει ρίζες, και
είναι ομόσημο του  a  για κάθε  x∈IR.
Δηλαδή:   ag(x)>0  για κάθε  x∈IR.

F:y = x^(2) - (4 * x) + 3
F1:y = (-x^(2)) - (14 * x) - 48
Φ:y = (-x^(2)) - (4 * x) - 4
Φ1:y = x^(2) - (16 * x) + 64
H:y = (-x^(2)) + (6 * x) - 10
H1:y = x^(2) + (4 * x) + 5