zikos.edu.gr < οι γρίφοι <

Το ανύπαρκτο παιγνίδι G

 

Ας θεωρήσουμε τα παιγνίδια που παίζονται εναλλάξ μεταξύ δύο παικτών κι ας ονομάσουμε «πεπερασμένα» εκείνα που σίγουρα τελειώνουν κάποτε, ενώ «άπειρα» εκείνα που δεν είναι πεπερασμένα δηλ. τα οποία μπορεί να συνεχίζονται επ’άπειρον.

Για παράδειγμα, άπειρο είναι το παιγνίδι «πόρτες» στο τάβλι, αφού υπάρχει η − πραγματικά απίθανη − περίπτωση να χτυπά συνεχώς ο ένας τον άλλον και το παιγνίδι να συνεχίζεται επ’άπειρον.

Πεπερασμένο παιγνίδι είναι, για παράδειγμα, η τρίλιζα (tic tac toe), η οποία θα τελειώσει σίγουρα μετά από το πολύ 9 συνολικά κινήσεις.

 

Έστω λοιπόν τώρα το παιγνίδι «G», το οποίο παίζεται ως εξής:

 

Ο 1ος παίκτης επιλέγει κάποιο πεπερασμένο παιγνίδι της αρεσκείας του.

Κατόπιν, ο 2ος παίκτης κάνει την 1η κίνηση σ’αυτό το παιγνίδι και μετά παίζουν εναλλάξ το παιγνίδι αυτό.

 

Τώρα όμως εγείρεται η εξής ερώτηση: Το παιγνίδι «G» είναι πεπερασμένο ή άπειρο;

·        Έστω ότι ήταν πεπερασμένο. Ας υποθέσουμε επίσης ότι το έπαιζαν δύο παίκτες. Τότε θα μπορούσε ο 1ος παίκτης να επιλέξει το «G» (αφού επιλέγει οποιοδήποτε πεπερασμένο παιγνίδι της αρεσκείας του) και κατόπιν να κάνει την 1η κίνηση στο «G» ο 2ος παίκτης. Όμως η 1η κίνηση στο «G» είναι η επιλογή κάποιου πεπερασμένου παιγνιδιού. Άρα, θα μπορούσε ο 2ος παίκτης − κάνοντας την 1η του κίνηση − να επιλέξει το «G». Κατόπιν θα ήταν η σειρά του 1ου παίκτη να παίξει, δηλ. να κάνει την 1η κίνηση στο «G» που σημαίνει να επιλέξει κάποιο πεπερασμένο παιγνίδι. Θα μπορούσε λοιπόν ο 1ος παίκτης να επιλέξει και πάλι το «G» κ.ο.κ. Δηλ. υπάρχει περίπτωση μία παρτίδα του «G» να εξελιχθεί σε διαδοχική επιλογή του «G» από τους δύο παίκτες, έτσι ώστε η παρτίδα αυτή να μην τελειώνει ποτέ. Άρα το «G» είναι ένα άπειρο παιγνίδι. Άτοπο.

·        Έστω ότι το «G» ήταν άπειρο. Ας υποθέσουμε επίσης ότι το έπαιζαν δύο παίκτες. Τότε δεν θα μπορούσε ο 1ος παίκτης να επιλέξει το «G» στην 1η του κίνηση. Θα επέλεγε κάποιο άλλο πεπερασμένο παιγνίδι, ο 2ος παίκτης θα έκανε την 1η κίνηση στο παιγνίδι αυτό, κατόπιν ο 1ος παίκτης την επόμενη κίνηση και το παιγνίδι θα τελείωνε κάποτε γιατί θα ήταν πεπερασμένο. Άρα δεν υπάρχει περίπτωση μία παρτίδα του «G» να συνεχίζεται επ’άπειρον, αφού πρόκειται απλώς για μία παρτίδα ενός πεπερασμένου παιγνιδιού που έχει ένα επιπλέον βήμα στην αρχή του: την επιλογή του από τον 1ο παίκτη. Άρα το «G» είναι πεπερασμένο. Άτοπο

 

Δηλ. το «G» δεν είναι ούτε πεπερασμένο ούτε άπειρο! Άρα δεν μπορεί να υπάρχει!

 

Όμως, θα έλεγε κάποιος: «Τι θα πει δεν μπορεί να υπάρχει; Οι κινήσεις είναι πολύ σαφείς. Ο 1ος παίκτης επιλέγει ένα πεπερασμένο παιγνίδι, ο 2ος κάνει την 1η κίνηση σ’αυτό και μετά συνεχίζουν κανονικά παίζοντας τις επόμενες κινήσεις του πεπερασμένου αυτού παιγνιδιού. Δεν καταλαβαίνω για ποιο λόγο δεν μπορεί να υπάρχει ένα τέτοιο παιγνίδι!»

Ποια είναι η απάντηση σ’αυτό το επιχείρημα;

 

Ίσως το ότι το «G» είναι κάτι αντίστοιχο με το ακόλουθο παιγνίδι:

 

Ο 1ος παίκτης κάνει μία κίνηση (στο παιγνίδι αυτό) και ταυτοχρόνως δεν την κάνει. Κατόπιν, ο 2ος παίκτης...

 

το οποίο προφανώς, δεν είναι λογικό να υπάρχει!

 

 

zikos.edu.gr < οι γρίφοι <