Τμήμα a

Τμήμα [A, B]

Σημείο C

Μέσο της a

Ευθεία b

Ευθεία που περνά από το B και είναι κάθετη στην a

Σημείο Γ

C περιστράφη με γωνία 270° γύρω απο το Β

Κύκλος c

Κύκλος με κέντρο Γ και ακτίνα a / 2

Τμήμα d

Τμήμα [A, Γ]

Σημείο Δ

Σημείο τομής των c, d

Τμήμα e

Τμήμα [A, Δ]

Κύκλος f

Κύκλος με κέντρο A και ακτίνα e

Σημείο E

Σημείο τομής των f, a

Τμήμα g

Τμήμα [A, E] =χ

Αριθμός φ

               στο πεδίο  εισαγωγής    φ=a/g     ,(για επαλήθευση πρέπει η τιμή του ίση με 1.62)

Κατόπιν από το μενού ΕΡΓΑΛΕΙΑ , Νέο εργαλείο ,
καρτέλα αντικείμενο εξαγωγής ,κλίκ στο  σημείο Ε της χρυσής τομής 
καρτέλα αντικείμενο εισαγωγής, κλίκ στο αρχικό τμήμα που κατασκευάσαμε, 
Του δίνουμε όνομα ,γράφουμε κείμενο για βοήθεια προαιρετικά,
του δίνουμε νέο εικονίδιο προαιρετικά (κατασκευή από πρόγραμμα επεξεργασίας εικόνας )
Δείτε το

Εκθετική- λογαριθμική συνάρτηση σαν γεωμετρικός τόπος

Δρομέας  a με αρχική 0.01
Στο πεδίο εισαγωγής: y=a^x ,enter
Στο πεδίο εισαγωγής: y=x ,enter
Σημείο Α πάνω στην γραφική παράσταση
Συμμετρικό του σημείου Α ως προς την y=x
(Δημιουργείται το  B)
Εργαλείο του γ. τόπου, κλίκ στο Β ,κλίκ στο Α
δεξί κλίκ στις γραφικές παραστάσεις, ιδιότητες, σύμβουλος, a διάφορο του 1, σαν όρος εμφάνισης

δημιουργείστε το.....
 

τι είναι λογάριθμος γιατί εμφανίζεται;

Δρομέας a  με αρχική τιμή 0.01
Δρομέας b  με αρχική τιμή 0.01 και αύξηση 0.01
Στο πεδίο εισαγωγής: y=a^x ,enter
Στο πεδίο εισαγωγής: y=b ,enter
Εργαλείο σημείου τομής, δημιουργείται το Α
δείτε το
 

Εμπλουτισμός εργαλειοθήκης

Έστω έχετε δημιουργήσει αρκετά εργαλεία σε διαφορετικά αρχεία του geogebra.
Μπορείτε σε κάθε ένα αρχείο , να πάτε εργαλεία διαχείριση εργαλείων, αποθήκευση ώς ,
 να τα δώσετε ένα όνομα και να τα αποθηκεύσετε έστω σε ένα φάκελο Tools.
(Δημιουργείται κάθε φορά αρχείο geogebra κενό  που περιέχει το εργαλείο σας)
Αν κάποια από αυτά ή όλα χρειάζεται να τα έχετε μαζί σε ένα αρχείο, τότε θα πρέπει:
Να ανοίξετε ένα από αυτά, να ζητήσετε αρχείο, άνοιγμα, αναζητείστε στον φάκελο tools το δεύτερο αρχείο και ανοίξτε το.
Το νέο σας αρχείο είναι διαθέσιμο για οποιαδήποτε εργασία και κυρίως περιέχει τα δύο εργαλεία σας μαζί, τα οποία μπορείτε να επεξεργαστείτε. Συνεχίστε την διαδικασία αυτή και για νέα εργαλεία.
 

Μετασχηματισμός πολυγώνου σε άλλο ισοδύναμό του με μία πλευρά λιγότερη
Η γεωμετρική κατασκευή

Έστω το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ

Φέρνουμε την ε παράλληλη απο το Β πρός την ΑΓ

Η προέκταση της ΔΓ προς το Γ τέμνει την ε στο Ζ

(ΑΒΓ)=(ΑΖΓ) κοινή βάση , ίσα ύψη, άρα

(ΑΒΓΔΕ)=(ΑΒΓ)+(ΑΓΔΕ)=(ΑΖΓ)+(ΑΓΔΕ)=(ΑΖΔΕ)

Στην παραπάνω κατασκευή ρόλο είχαν τα σημεία Α,Β,Γ,Δ. ενώ το Ε ήταν αμέτοχο.

Η κατασκευή στο geogebra:

Τρίγωνο ΑΒΓ, (κατασκευή έστω αντίθετα των δεικτών του ρολογιού)

σημείο Δ (αρχικά στοιχεία κατασκευής)

Απο το Β// στην ΑΓ, τμήμα ΒΓ,

Απο το Δ// στο ΒΓ. Οι δύο παράλληλες τέμνονται στο Ζ.

φέρνουμε ΔΖ , ΑΖ

Νέο εργαλείο, αντικείμενα εξαγωγής τα ΑΖ, ΔΖ, Ζ

Αντικείμενα εισαγωγής τα αρχικά (τα προτείνει το λογισμικό), αποθήκευση ώς π.χ. τετραγωνισμός

Λειτουργία

Εστω π.χ. ένα εξάγωνο ΚΛΜΝΠΡ

Παίρνουμε το εργαλείο τετραγωνισμού, επιλέγουμε Κ,Λ,Μ,Ν

Δημιουργούνται τα ΚΖ, ΝΖ (Ζ το νέο σημείο)

Παίρνουμε το εργαλείο τετραγωνισμού, επιλέγουμε Κ,Z,Μ,Ν

κτλ. μέχρι να φτάσουμε στο ΑΘΡ (Θ το νέο σημείο)

Για επαλήθευση πάρτε το εργαλείο του πολυγώνου και σχηματίστε το ΑΘΡ

Δείτε στην άλγεβρα υπάρχουν καταγεγραμμένα δύο πολύγωνα με ίδια τιμή (Εμβαδό)

Μετασχηματισμός τριγώνου σε ισοδύναμο τετράγωνο

Η γεωμετρική κατασκευή

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ , ΑΔ το ύψος του

Στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ παίρνουμε Ε ώστε ΓΕ=ΑΔ/2

Γράφουμε ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ

Κάθετη απο το Γ στην ΑΓ που τέμνει το ημικύκλιο στο Ζ

Το ΓΖ είναι το ζητούμενο αφού στο ορθογώνιο ΑΖΓ:    ΓΖ² =ΒΓ . ΓΕ = (ΑΒΓ)

Η κατασκευή στο geogebra:

Ύψος τριγώνου

τρίγωνο ΑΒΓ, απο το Α κάθετη στην ΒΓ, δημιουργείται σημείο Δ, τμήμα ΑΔ

Προέκταση

Απο το Γ // στην ΒΓ, κύκλος με κέντρο Γ και ακτίνα ΑΔ/2  τέμνει την προέκταση στο Ε, τμήμα ΑΕ

Εργαλείο μέσου για το ΑΕ, έστω Κ

Κύκλος (Κ, ΑΕ/2)

Απο το Γ κάθετη στην ΒΓ, τέμνει τον κύκλο στο Ζ. Το ΑΖ είναι η πλευρά του ζητούμενου τετραγώνου.

Νέο εργαλείο, αντικείμενα εξαγωγής το ΑΖ και το  σημείο Ζ

Αντικείμενα εισαγωγής τα Α, Β, Γ (τα προτείνει το λογισμικό), αποθήκευση ώς π.χ. Τετραγωνισμός2

Απόκρυψη αντικειμένων και ετικετών που δεν χρειάζεται να φαίνονται.

Λειτουργία

επιλέγουμε τις κορυφές ενός τριγώνου
δείτε το

Προτεινόμενος τρόπος διδασκαλίας Α

αφού διδαχθούν οι δύο κατασκευές στον πίνακα παραδοσιακά Ανοίγουμε το εργαλείο τετραγωνισμός1 , (ανοίγει το λογισμικό) , ζητάμε νέο αρχείο geogebra και αναζητούμε το εργαλείο τετραγωνισμού2  Έχουμε τώρα στο αρχείο μας διαθέσιμα τα 2 εργαλεία.
Εφαρμογή των εργαλείων
Κατασκευάζουμε ένα πολύγωνο π.χ. Εξάγωνο και με το εργαλείο1 το μετασχηματίζουμε διαδοχικά σε τρίγωνο. Σειρά έχει τώρα το εργαλείο2

Δείτε στην άλγεβρα του λογισμικού ότι το αρχικό πολύγωνο και το τελικό τετράγωνο είναι ισοδύναμα.

Προτεινόμενος τρόπος διδασκαλίας Β

Κάνουμε όλες τις κατασκευές μαζί με τους μαθητές στο λογισμικό. Και φυσικά την εφαρμογή των εργαλείων

(απαιτεί περισσότερο χρόνο διδασκαλίας)

Η εντολή ακολουθία

Η σύνταξή της είναι: ακολουθία[έκφραση, μεταβλητή,αριθμός από,αριθμός μέχρι]

Στην έκφραση βάζουμε αριθμούς ή και γεωμετρικά στοιχεία τα οποία θα επαναλαμβάνονται

Σαν μεταβλητή συνήθως βάζουμε k το οποίο παίρνει αρχική τιμή 1 , βήμα αν δεν βάλουμε εννοείται το 1
Οι 2 τελευταίοι αριθμοί δηλώνουν τον αριθμό των επαναλήψεων
π.χ. ακολουθία[2,κ,1,3]  θα δώσει μια λίστα {2,2,2}
ακολουθία[2*κ,κ,1,3]  θα δώσει μια λίστα {2,4,6} που θα είναι ορατή στην άλγεβρα

π.χ με σημεία ενδιάμεσα του ΑΒ

έστω ένας δρομέας α και ένα τμήμα ΑΒ
Η εντολή ακολουθία[Α+(Β-Α)/α*κ,κ,1,α-1]
δώσει α-1σημεία μετά το Α,  το πρώτο θα απέχει από το Α απόσταση (Β-Α)/a επί 1
το δεύτερο απόσταση (Β-Α)/α επί 2 κλπ.
Επίσης δημιουργεί στο παράθυρο της άλγεβρας μια λίστα σημείων (ονομασία λ1)

Έστω τώρα κάνουμε το ίδιο για το τμήμα ΓΔ
με την εντολή ακολουθία[Γ+(Δ-Γ)/α*κ,κ,1,α-1]
δημιουργεί στο παράθυρο της άλγεβρας μια λίστα σημείων (ονομασία λ2)

και θέλουμε να ενώσουμε τα μεταξύ τους τα ενδιάμεσα σημεία
το σκεπτικό είναι να ενώσουμε το στοιχείο της πρώτης λίστας με το αντίστοιχο της άλλης λίστας

δίνουμε την εντολή
ακολουθία [τμήμα [ σημείο1, σημείο2] ,κ,1,α-1, ]
σαν σημεία θα δώσουμε τα στοιχεία των λιστών
δηλαδή:   ακολουθία [τμήμα [ στοιχείολίστας[λ1,κ], στοιχείολίστας[λ2,κ] ] ,κ,1,α-1, ]
Η εντολή στοιχείολίστας[λ1,κ] εννοεί το στοιχείο κ της λίστας λ1
και επειδή το κ αρχίζει με τιμή 1 είναι το πρώτο στοιχείο της λίστας στην αρχή , μετά το κ θα γίνει 2 κλπ.

Ε=πρ² =Ε ορθογωνίου

Εργαλείο    Δρομέας ν απο 0-1111 , βήμα2 (διαμερίσεις)
Εργαλείο   Δρομέας ρ   1 έως 3 (ακτίνα)
Εργαλείο κύκλος  c: (A,ρ) , Β η τομή με τον Οχ
Αριθμός α=360^ο/ν
Εργαλείο Γωνία  με δοσμένο μέγεθος a=(Β,Α,α), δημιουργεί το Γ
Εργαλείο  Τομέας d=(Α,Β,Γ)
Ευθεία y=ρ
Σημείο Μ=(π,ρ)
Διάνυσμα ΑΜ=u
Εργαλείο   Μεταφορά[d,u]      Δημιουργείται Τομέας d' και τα Α', Β'
Εργαλείο  Στροφή[d',90^ο +α/2,Α'] Δημιουργείται Τομέας d''
Εργαλείο Συμμετρικό του d'' ως προς y=ρ Δημιουργείται Τομέας d'''
Εργαλείο   Μεταφορά[d''',v],όπου v κατάλληλο διάνυσμα A'C '
Στο πεδίο εισαγωγής Ακολουθία[Μεταφορά[d'', κ*w ],κ,0,ν/2-1,1],w κατάλληλο διάνυσμα B''C'
Στο πεδίο εισαγωγής Ακολουθία[Μεταφορά[d''', κ*w ],κ,0,ν/2-1,1]

Στο πεδίο εισαγωγής Ακολουθία[Στροφή[d,κ*α,Α],κ,0,ν ,2]
Δημιουργώ στον κύκλο τομέα f μετά τον d και του δίνω ακολουθία
Στο πεδίο εισαγωγής Ακολουθία[Στροφή[f,κ*α,Α],κ,0,ν ,2]
Κατασκευή ορθογωνίου:
Στο πεδίο εισαγωγής Σ=Μ+(0,-ρ) και μετά Π=(π+π*ρ,0) και μετά  Λ=Π+(0,ρ)
Εργαλείο πολύγωνο, επιλέγω τις κορυφές,  δίνω μορφοποίηση.

Γίνονται οι σχετικές αποκρύψεις