Άσκηση

 Δίνεται η  καμπύλη ψ=χ32 και η ευθεία ψ=5χ-3 Βρείτε τα σημεία που η ευθεία τέμνει την καμπύλη
Τα σημεία αυτά είναι ρίζες της εξίσωσης χ32 -5χ+3 =0;

Λύση

Εκεί που τέμνονται έχουν το ίδιο ψ, οπότε λύνοντας το σύστημά τους
καταλήγουμε στην χ32 -5χ+3 =0 που εύκολα (Horner) δίνει χ=1 διπλή ρίζα και χ=-3
άρα τα σημεία Α(1,2) και Β(-3,-18) είναι τα κοινά τους σημεία.
'Όπως θα φανεί και από την παρακάτω γραφική λύση το Α (διπλή ρίζα στο 1) είναι σημείο επαφής
 και το Β (απλή ρίζα) σημείο τομής

Γενικά όταν λύνουμε το (Σ) δύο γραφικών παραστάσεων και βρίσκουμε χ=ρ τουλάχιστον διπλή ρίζα
τότε στο σημείο αυτό οι δύο καμπύλες εφάπτονται
Στις παραγώγους αυτό διαπιστώνεται με την σχέση f(ρ)= f΄(ρ)=0
 f(x)=χ32 -5χ+3 τότε f΄(x)=3χ2+2χ-5  και είναι  f(1)= f΄(1)=0  

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)