Yπολογισμός του ΑΒ2 της κάθετης πλευράς ΑΒ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (1)
Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης β2 = α.ΔΒ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΒ είναι η προβολή της κάθετης β στην υποτείνουσα α;
|
|
|
![Υπολογισμός του τετραγώνου της κάθετης ΑΒ](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/ab.png) |
|
|
|
|
Yπολογισμός του ΑΒ2 της κάθετης πλευράς ΑΒ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (2)
Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης β2 = α.ΔΒ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΒ είναι η προβολή της κάθετης β στην υποτείνουσα α;
|
|
|
![Υπολογισμός του τετραγώνου της κάθετης ΑΒ](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/ab1.png) |
|
|
|
|
Yπολογισμός του ΑΓ2 της κάθετης πλευράς ΑΓ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ
Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης γ2 = α.ΔΓ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΓ είναι η προβολή της κάθετης γ στην υποτείνουσα α;
|
|
|
![Υπολογισμός του τετραγώνου της κάθετης ΑΓ](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/ac.png) |
|
|
|
|
Yπολογισμός του ΑΓ2 της κάθετης πλευράς ΑΓ σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (2)
Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία της σχέσης γ2 = α.ΔΓ σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ και ΔΓ είναι η προβολή της κάθετης γ στην υποτείνουσα α;
|
|
|
![Υπολογισμός του τετραγώνου της κάθετης ΑΓ](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/ac1.png) |
|
|
|
|
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 1
Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
|
|
|
|
|
|
|
|
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 2
Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
|
|
|
![Το Πυθαγόρειο θεώρημα 2](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/abc.png) |
|
|
|
|
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 3
Μια απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος
|
|
|
![Το Πυθαγόρειο θεώρημα 3](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/abc1.png) |
|
|
|
|
Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ) 4
Με την εφαρμογή αυτή αποδεικνύουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα , τοποθετώντας τα κομμάτια του ''παζλ'' στα τετράγωνα που δημιουργούνται με τις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ εκτός του επιπέδου του |
|
|
![Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ)](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/pyth_p.png) |
|
|
|
|
Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ) 5
Με την εφαρμογή αυτή αποδεικνύουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα , τοποθετώντας τρίγωνα με κέθετες πλευρές β και γ και υποτείνουσα α σε ένα τετράγωνο με πλευρά α + β.
|
|
|
![Το Πυθαγόρειο θεώρημα (παζλ) 4](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/3pazl.png) |
|
|
|
|
Γεννήτρια Πυθαγόρειων τριάδων
Με την βοήθεια της εφαρμογής αυτής δημιουργούμε Πυθαγόρειες τριάδες , δηλαδή τριάδες της μορφής (α , β , γ) για τις οποίες ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Προσπαθείστε , κατόπιν τριών περιπτώσεων παραγωγής Πυθαγόρειων τριάδων , να εντοπίσετε τον γενικό τύπο παραγωγής των Πυθαγόρειων τριάδων με βάση την εφαρμογή αυτή.
|
|
|
![Γεννήτρια παραγωγής Πυθαγόρειων τριάδων](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/pyth_tr.png) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Μελέτη του είδους του τριγώνου , ως προς τις γωνίες του
Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να μελετηθούν τα παρακάτω
α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου
β)Να εξεταστεί αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο , αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο
|
|
|
![Είδος του τριγώνου, ως προς τις γωνίες του](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/eidos.png) |
|
|
|
|
Υπολογισμός όλων των προβολών των πλευρών σε τυχαίο τρίγωνο
Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε:
α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου
β)Τα μήκη όλων των προβολών των πλευρών του τριγώνου |
|
|
![Εύρεση όλων των προβολών των πλευρών τριγώνου](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/oxeia.png) |
|
|
|
|
Υπολογισμός του μήκους όλων των διαμέσων σε τυχαίο τρίγωνο
Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε:
α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου
β)Τα μήκη όλων των διαμέσων του τριγώνου |
|
|
![Εύρεση όλων των μηκών των διαμέσων σε τρίγωνο](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/diam.png) |
|
|
|
|
Υπολογισμός του μήκους των προβολών των διαμέσων σε τυχαίο τρίγωνο
Δώστε τις πλευρές α = ΒΓ , β = ΑΓ και γ = ΑΒ για να βρείτε:
α) Αν τα παραπάνω δοσμένα μήκη αποτελούν πλευρές τριγώνου
β)Τα μήκη όλων των προβολών των διαμέσων του τριγώνου |
|
|
![Εύρεση όλων των προβολών των διαμέσων τριγώνου](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/2diam.png) |
Προβλήματα γεωμετρικών τόπων |
|
|
|
Πρόβλημα 1
Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β και ένα ευθύγραμμο τμήμα k. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα Α , Β ισούται με k2. |
|
|
![Πρόβλημα γεωμετρικού τόπου](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/geo_t1.png) |
|
|
|
|
Πρόβλημα 2
Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β και ένα ευθύγραμμο τμήμα k. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα Α , Β ισούται με k2 |
|
|
![Πρόβλημα γεωμετρικού τόπου 2](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/geo_t2.png) |
Bασικό Θεώρημα
|
|
|
|
Θεώρημα του Stewart
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = γ , ΑΓ = β και ΒΓ = α.
Έστω Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ. Θέτουμε ΒΔ = λ , ΓΔ = μ και ΑΔ = δ. Να αποδείξετε τη μετρική σχέση:
μβ2 +λγ2 = α(δ2 + λμ)
|
|
|
![Θεώρημα του Stewart](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/st.png) |
Δύναμη σημείου ως προς κύκλο - Τέμνουσες κύκλου |
|
|
|
Δύναμη σημείου ως προς κύκλο - Θεωρία
Τι παριστάνει η δύναμη ενος σημείου Ρ ως προς ένα κύκλο (Ο,ρ) για τις διάφορες θέσεις του σημείου Ρ; |
|
|
![Δύναμη σημείου ως προς κύκλο](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/dynami.png) |
|
|
|
|
Τέμνουσες κύκλου
Αν σας δοθεί ένας κύκλος (Ο,ρ) και δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ αυτού , οι οποίες τέμνονται στο Ρ, τότε διαπιστώστε με βάση την εφαρμογή αυτή ότι ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.ΡΔ = R2 - δ2 , μετακινώντας τα σημεία Α , Β , Γ , Δ πάνω στον κύκλο |
|
|
![Τέμνουσες κύκλου](http://users.sch.gr/fergadioti1//Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/dynami_temn.png) |
|
|
|
|
Τέμνουσες κύκλου - Γενική περίπτωση
Αν σας δοθεί ένας κύκλος (Ο,ρ) και δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ αυτού , οι οποίες τέμνονται στο Ρ (είτε στο εσωτερικό είτε στο εξωτερικό μέρος του κύκλου), τότε διαπιστώστε με βάση την εφαρμογή αυτή ότι ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.ΡΔ = |δ2 - R2| = ΡΣ2 (ΡΣ εφαπτομένη του κύκλου από το σημείο Ρ) μετακινώντας τα σημεία Α , Β , Γ , Δ πάνω στον κύκλο |
|
|
![Tέμνουσες κύκλου - Γενική περίπτωση](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/dynami_temn_ex.png) |
|
|
|
|
Το πρόβλημα της Χρυσής τομής
Να διαιρεθεί ένα δοσμένο τμήμα ΑΒ = α σε δύο άνισα τμήματα ΑΓ ,ΓΒ ,ώστε , το μεγαλύτερο από αυτά τα τμήματα να είναι μέσο ανάλογο του μικροτέρου και του αρχικού τμήματος ΑΒ
Δηλαδή, αν ΑΓ είναι το μεγαλύτερο τμήμα , να ισχύει: ΑΓ2 = ΑΒ.ΓΒ
Διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο |
|
|
![Το πρόβλημα της Χρυσής τομής](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/xrisi.png) |
|
|
|
|
Χρυσή τομή - Εφαρμογή
Ο Έλληνας γλύπτης Φειδίας , χρησιμοποιούσε τον αριθμό φ = 1,618034 για να έχουν τα γλυπτά του την αίσθηση της αρμονίας. Το ίδιο έκαναν οι αρχαίοι Έλληνες στην κατασκευή του Παρθενώνα.
Είναι το δικό σας σώμα ''καλαίσθητο'';
1. Μετρήστε το α = συνολικό ύψος σας και β =το ύψος της μέσης σας
2. Βρείτε το πηλίκο α/β
Αν -0.03 < α/β < 0.03 το σώμα σας έχει την αίσθηση της αρμονίας
|
|
|
![Χρυσής τομής - Eφαρμογή](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/xrisief.png) |
|
|
|
|
Ριζικός άξονας δύο κύκλων
Δίνονται δύο κύκλοι.Ζητάμε να βρούμε τα σημεία του επιπέδου που έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τους δύο κύκλους. |
|
|
![Ριζικός άξονας δύο κύκλων](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/rizikos1.png) |
|
|
|
|
Κατασκευή τέταρτης αναλόγου 1
Κατασκευή ενός τμήματος x , τέτοιο, ώστε α/β = γ/x , όπου α , β , γ είναι γνωστά ευθύγραμμα τμήματα. |
|
|
![Tέταρτη ανάλογος](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/tetarti1.png) |
|
|
|
|
Κατασκευή τέταρτης αναλόγου 2
Κατασκευή ενός τμήματος x , τέτοιο, ώστε α/β = γ/x , όπου α , β , γ είναι γνωστά ευθύγραμμα τμήματα. |
|
|
![Tέταρτη ανάλογος](http://users.sch.gr/fergadioti1/Institude_Geogebra/applets/geometry/9_metrikes/Images/tetarti2.png) |
|
|
|
|