ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο.
| Ορισμός: Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο:
`lim_(h→0 )(f(x_0+h)-f(x_0))/h`
και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται συμβολίζεται με f΄(x) και το ονομάζουμε παράγωγο της f στο `x_o` |
Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια
`lim_(h→0^- )(f(x_0+h)-f(x_0))/h`, και `lim_(h→0^+ )(f(x_0+h)-f(x_0))/h`
και είναι ο ίδιος πραγματικός αριθμός.
Συνέχεια και Παραγωγισιμότητα:
Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της, τότε θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
Παράγωγος συνάρτηση.
| Για μια συνάρτηση `f:(α,β)->RR` ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση `f':(α,β)->RR` , αν και μόνο αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της. |
| Για μια συνάρτηση `f:[α,β]->RR` ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση `f':[α,β]->RR` , αν και μόνο αν:
- η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο `x_0` του πεδίου ορισμού της.
- αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια
`lim_(h→0^+ )(f(α+h)-f(α))/h`, και `lim_(h→0^- )(f(β+h)-f(β))/h`
και είναι πραγματικοί αριθμοί.
|
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων.
| Συνάρτηση f |
Παράγωγος f΄ |
| `c` |
`0` |
| `x` |
`1` |
| `x^α, α in RR`, x>0 |
`αx^(α-1)` |
| `sqrtx` |
`1/(2sqrtx)` |
| `ημx` |
`συνx` |
| `συνx` |
`-ημx` |
| `e^x` |
`e^x` |
| `lnx` |
`1/x` |
Κανόνες Παραγώγισης.
| `(cf(x))΄` |
`cf΄(x)` |
| `(f(x)+g(x))΄` |
`f΄(x)+g΄(x)` |
| `(f(x)-g(x))΄` |
`f΄(x)-g΄(x)` |
| `(f(x).g(x))΄` |
`f΄(x).g(x)+f(x).g(x)΄` |
| `(f(x)/g(x))´` |
`(f΄(x).g(x)-f(x).g΄(x))/(g(x)^2)` |
Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης
Αν μια συνάρτηση `f:A->RR` είναι παραγωγίσιμη στο Α και η παράγωγος συνάρτηση `f΄:A->RR` είναι και αυτή παραγωγίσιμη στο Α, τότε ορίζεται η δεύτερη παράγωγος `f΄΄:A->RR` της συνάρτησης f, ώστε f΄΄(x)=(f΄(x))΄.
Ανάλογα ορίζονται και μεγαλύτερης τάξης παράγωγοι μιας συνάρτησης τις οποίες συμβολίζουμε με `f^((3))(x)`, `f^((4))(x)`,...
Μονοτονία Συνάρτησης
Μια συνάρτηση f λέγεται
γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία `x_1,x_2 in Delta` με `x_1`<`x_2` ισχύει `f(x_1)`<`f(x_2)`.
γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία `x_1,x_2 in Delta` με `x_1`<`x_2` ισχύει `f(x_1)`>`f(x_2)`.
Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.
Πως βρίσκουμε αν μια συνάρτηση είναι φθίνουσα ή αύξουσα;
• Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει `f΄(x)>0` για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
• Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει `f΄(x)<0` για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
Ακρότατα Συνάρτησης
Μια συνάρτηση f λέμε ότι παρουσιάζει:
Τοπικό μέγιστο στο `x_0` , αν υπάρχει ανοικτό διάστημα (α,β) που περιέχει το `x_0` τέτοιο ώστε `f(x)<=f(x_0)` για κάθε x `in` (α,β),
Τοπικό ελάχιστο στο `x_0` , αν υπάρχει ανοικτό διάστημα (α,β) που περιέχει το `x_0` τέτοιο ώστε `f(x)>=f(x_0)` για κάθε x `in` (α,β) .
Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης.
Θεώρημα Fermat
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε `f΄(x_0)=0`.
Πως βρίσκουμε τα ακρότατα μιας συνάρτησης;
• Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν `f΄(x_0)=0` για `x_0 in (α,β)` , `f΄(x)>0` στο `(α,x_0)` και `f΄(x)<0` στο `(x_0,β)` , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για `x=x_0` μέγιστο.
• Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν `f΄(x_0)=0` για `x_0 in (α,β)` , `f΄(x)<0` στο `(α,x_0)` και `f΄(x)>0` στο `(x_0,β)`, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για `x=x_0` ελάχιστο.