ΑΣΚ 1η. Η δεκάρα ήταν ένα νόμισμα, υποδιαίρεση της δραχμής, που χρησιμοποιήθηκε στις συναλλαγές μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του ’70. Ήταν φτιαγμένη από ελαφρύ μέταλλο, με μάζα σχεδόν 3gr και διάμετρο περίπου 2,5cm, ενώ είχε στο κέντρο μια τρύπα διαμέτρου 0,5cm. Υπολογίστε, προσεγγιστικά, τη ροπή αδράνειας της δεκάρας. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει, αν αφεθεί να κυλήσει σε κεκλιμένο επίπεδο, με γωνία κλίσης 30°;

ΑΣΚ 2η. Οι τροχοί του σχήματος είναι συνδεμένοι με σανίδα αμελητέας μάζας, ενώ στον πίσω είναι προσαρμοσμένος ένας πολύ ελαφρύς κινητήρας. Θεωρήστε ότι κάθε τροχός έχει μάζα Μ=5kg ακτίνα R=0,4m και ροπή αδράνειας I=¹/₂MR². Ο κινητήρας ασκεί στον τροχό δεξιόστροφη ροπή 12Nm.

i. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του συστήματος.

ii. Αν ο κινητήρας έχει μέγιστη ισχύ 30W και το σύστημα κατά την κίνησή του δέχεται αντίσταση από τον αέρα, ανάλογη της ταχύτητας, F=-0,2υ, να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητα που θ’ αποκτήσει.

ΑΣΚ 3η. Κατά τον καταστροφικό σεισμό της 26-12-04 στη Ν.Α Ασία, οι γεωλόγοι κατέγραψαν μια ανύψωση τμήματος του φλοιού της γης (διαστάσεων 200km x 200km), στη περιοχή της Σουμάτρα, κατά 11m. (Η Σουμάτρα θεωρείται ότι έχει γεωγραφικό πλάτος 0° και υψόμετρο 0). Θεωρείστε ότι η ανύψωση αυτού του μεγάλου τμήματος του φλοιού της γης, προήλθε από αντίστοιχη καταβύθιση που συνέβη σε γεωγραφικό πλάτος 45°, στον πυθμένα του Ειρηνικού. Προσδιορίστε τη μεταβολή της περιόδου της περιστροφής της γης γύρω από τον άξονά της. Θεωρείστε ότι η γη είναι μια ομογενής σφαίρα με σταθερή πυκνότητα και ότι το τμήμα που μετακινήθηκε έχει μάζα m=4×10^-10M όπου M η μάζα της γης.

ΑΣΚ 4η. Ένα ‘γιο-γιο’ αποτελείται από δυο όμοιες συμπαγείς σφαίρες μάζας Μ και ακτίνας R, συνδεμένες μεταξύ τους με συμπαγή κύλινδρο μάζας m και ακτίνας r. Το ‘γιο-γιο’ αφήνεται ελεύθερο να πέσει από ύψος h, ενώ ξετυλίγεται το σχοινί, που είναι τυλιγμένο γύρω από τον κυλινδρικό άξονα. Το άνω άκρο του σχοινιού είναι σταθερό.

i. Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρο βάρους του ‘γιο-γιο’, αφού έχει καλύψει απόσταση h κατά την πτώση του.

ii. Να βρείτε τη γωνιακή του επιτάχυνση, καθώς κατεβαίνει.

ΑΣΚ 5η. Οι βαριοί δίσκοι του σχήματος συνδέονται με λεπτή ράβδο. Το σύστημα τοποθετείται σε στενό κεκλιμένο επίπεδο και αφήνεται να κυλήσει χωρίς ολίσθηση. Τη στιγμή που οι δίσκοι φτάνουν στο οριζόντιο επίπεδο, παρατηρούμε ότι το σύστημα, απότομα, επιταχύνεται. Γιατί;

ΑΣΚ 6η. Για το σύστημα του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι οι δίσκοι έχουν ακτίνα R=0,6m, ο άξονας r=R/4=0,15m, η συνολική μάζα είναι m=5kg και η ροπή αδράνειας του συστήματος, γύρω από τον άξονα περιστροφής, είναι I=1/2mR². Το σύστημα αφήνεται να κυλήσει στο κεκλιμένο επίπεδο του σχήματος και συναντά το οριζόντιο επίπεδο αφού έχει πέσει κατά h=0,8m.

i. Να βρεθούν η ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα τη στιγμή που συναντά το οριζόντιο επίπεδο.

ii. Μετά από μικρή διαδρομή στο οριζόντιο επίπεδο, η ταχύτητά του αυξάνεται. Πόση είναι η τελική του ταχύτητα;

iii. Πόση ενέργεια μετατράπηκε σε θερμότητα; (g=10m/s²)

ΑΣΚ 7η. Η βαριά σφαίρα, μάζας m=5kg, του παρακάτω σχήματος εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα v_ο=35m/s εφαπτομενικά στο οριζόντιο επίπεδο.

i. Ποια ταχύτητα θα έχει τελικά;

ii. Πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι να την αποκτήσει;

iii. Πώς εξαρτάται η παραπάνω απόσταση και η τελική ταχύτητα από το συντελεστή τριβής ολίσθησης; Η ακτίνα της σφαίρας είναι R=10cm, η ροπή αδράνειας I=2/5mR² και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,2. (g=10m/s²)

ΑΣΚ 8η. Το σώμα Α παρουσιάζει με το οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ και συνδέεται με το Β με αβαρές σκοινί. Η τροχαλία Τ είναι δίσκος, που περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από τον άξονά της.

i. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σωμάτων Α και Β.

ii. Ποιος έπρεπε να είναι ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής, ώστε το σύστημα να ισορροπεί; Δίνονται m_A=2kg, m_B=0,5kg, m_T=2kg, R_T=5cm, Ι_Τ=1/2mR²,g=10m/s² και μ=0,1.

ΑΣΚ 9η. Η τροχαλία του σχήματος είναι αβαρής και το σκοινί είναι δεμένο με τον άξονα του τροχού Α. Δίνονται m_A=2kg, m_B=0,1kg, R_Α=5cm, Ι_Α=1/2mR²,g=10m/s². Να υπολογιστούν:

i. οι επιταχύνσεις των σωμάτων Α και Β

ii. οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή που το Β θα έχει πέσει κατά h=0,5m και

iii. την ίδια στιγμή

1. ο ρυθμός με των οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια του σώματος Β

2. ο ρυθμός με των οποίο αυξάνεται η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής του σώματος Α

3. ο ρυθμός με των οποίο μειώνεται η δυναμική ενέργεια του σώματος Β

ΑΣΚ 10η. Η τροχαλία του σχήματος είναι αβαρής και το σκοινί είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του τροχού Α. Δίνονται m_A=2kg, m_B=0,1kg, R_Α=5cm, Ι_Α=1/2mR²,g=10m/s². Να υπολογιστούν:

i. οι επιταχύνσεις των σωμάτων Α και Β

ii. οι ταχύτητες των σωμάτων, τη στιγμή που το Β θα έχει πέσει κατά h=0,5m

ΑΣΚ 11η. Η λεπτή ράβδος ΑΒ έχει μήκος L=1m, μάζα m=0,5kg και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από την άρθρωση Α. Αφήνεται ελεύθερη στην οριζόντια θέση και αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς αντιστάσεις.

i. Ποια δύναμη δέχεται από την άρθρωση τη στιγμή που αφήνεται;

ii. Πόση γίνεται η δύναμη τη στιγμή που θα γίνει κατακόρυφη;

iii. Να σχεδιαστεί προσεγγιστικά η δύναμη τη στιγμή που σχηματίζει γωνία 45° με την αρχική της θέση.

ΑΣΚ 12η. Η λεπτή ράβδος ΑΒ έχει μήκος L=3m, μάζα m και ισορροπεί πάνω στον κατακόρυφο στύλο Σ. Επειδή η ισορροπία είναι ασταθής, η ράβδος αρχίζει να ανατρέπεται και κάποια στιγμή χάνει την επαφή της με το στύλο.

i. Να αποδειχτεί ότι τη στιγμή που αποχωρίζεται το στύλο σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ με συνφ=0,6. (φ=53° ή φ=0,93rad)

ii. Κατά πόσο θα έχει μετακινηθεί το κέντρο μάζας της, τη στιγμή που για πρώτη φορά θα ξαναγίνει κατακόρυφη;