ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
(Το παρακάτω σενάριο ανήκει στο Tutorial του Function Probe. Η διασκευή και προσαρμογή του στα Ελληνικά καθώς και η αξιοποίησή του στη διδασκαλία των Μαθηματικών με τη χρήση των ΝΤ, έγινε από την Μαθηματικό κ. Νικολέτα Ξένου)
Το πρόβλημα με τις πίτσες
Μία πιτσαρία φτιάχνει στρογγυλές πίτσες σε 5 διαφορετικά μεγέθη:
Ο ιδιοκτήτης της πιτσαρίας έχει καθιερώσει μία παράξενη ‘οικονομική πολιτική’ που σας επιτρέπει να πληρώσετε την πίτσα σας με έναν από δύο διαφορετικούς τρόπους:
Διαλέξτε τον τρόπο που σας συμφέρει για να πληρώσετε την πίτσα που θα αγοράσετε.
1. Σύντομη ανασκόπηση του σεναρίου
1.1 Η ιδέα που διέπει το σενάριο
Το πρόβλημα με τις πίτσες απαιτεί για τη λύση του διαδικασίες που δίνουν την ευκαιρία στους μαθητές:
1.2 Τεχνολογικά εργαλεία που προτείνονται
Προτείνεται η χρήση του συνδυασμού τριών ψηφίδων που αναπτύσσονται στο έργο
με τις οποίες ο μαθητής μπορεί να χειριστεί συναρτήσεις έχοντας τη δυνατότητα των διαφορετικών αναπαραστάσεών τους (τύπος, πίνακας τιμών, γραφική παράσταση)
1.3 Χρήση συμπληρωματικού υλικού
Για τους μαθητές:
Για τον καθηγητή:
1.4 Προσδοκώμενες παιδαγωγικές και μαθησιακές κατακτήσεις
Οι προτεινόμενες δραστηριότητες που ακολουθούν έχουν ως κύριους γνωστικούς στόχους:
Οι προτεινόμενες δραστηριότητες σε συνδυασμό με τις προσβλεπόμενες μεθόδους διδακτικής, που περιγράφονται παρακάτω στοχεύουν στο να μάθουν οι μαθητές:
1.5 Προσβλεπόμενες μέθοδοι διδακτικής
Το εργαστήριο των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει τη δυνατότητα να συμβάλλει στη διαμόρφωση ενός νέου μαθησιακού περιβάλλοντος του οποίου τα χαρακτηριστικά διαφέρουν από εκείνα της “παραδοσιακής” τάξης.
Οι μαθητές χωρισμένοι σε ομάδες των 3 ατόμων δουλεύουν μπροστά στον υπολογιστή, αναλαμβάνοντας διαφορετικούς ρόλους ο καθένας (πληκτρολόγηση-διαχείριση ποντικιού, κράτηση σημειώσεων στο τετράδιο ή το φύλλο εργασίας). Οι ρόλοι αυτοί εναλλάσσονται σε τακτά προκαθορισμένα διαστήματα.
Ο καθηγητής απευθύνεται άλλοτε σε όλες τις ομάδες και άλλοτε σε κάθε ομάδα ξεχωριστά, εξειδικεύοντας τις παρεμβάσεις του ανάλογα με τις ανάγκες που προκύπτουν κατά τη διαδικασία της διερεύνησης.
1.6 Στρατηγική εφαρμογής
Οι στρατηγικές εφαρμογής των προτεινόμενων δραστηριοτήτων έχουν ενσωματωθεί στην περιγραφή τους.
2. Παιδαγωγικοί, κοινωνιολογικοί και πολιτισμικοί στόχοι
2.1. Ο ρόλος του σεναρίου και των τεχνολογικών εργαλείων για την αναβάθμιση των συμμετεχόντων ή την ενίσχυση των ρόλων τους
Η διδασκαλία των Μαθηματικών σε μία “παραδοσιακή” τάξη αρχίζει με την εισαγωγή των διαφόρων μαθηματικών εννοιών μέσα από τους αντίστοιχους “αυστηρούς” ορισμούς και εστιάζεται στην εκμάθηση τεχνικών για τη λύση ασκήσεων και προβλημάτων. Στόχος αυτής της διδασκαλίας είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τις τεχνικές αυτές, ώστε να μπορούν να τις αναπαράγουν, όταν τους ζητηθεί, γρήγορα και σωστά σε ανάλογες καταστάσεις.
Μία τέτοιου είδους διδακτική πρακτική ωθεί τους μαθητές (instrumental learners, Skemp,1976) στην αντίληψη ότι τα Μαθηματικά είναι μία σειρά κανόνων και αλγορίθμων και επομένως για να τα μάθει κανείς πρέπει να μάθει τους κανόνες αυτούς, συνήθως με αποστήθιση. Πρέπει επίσης να μάθει και τις περιπτώσεις στις οποίες εφαρμόζονται οι κανόνες. Η αντίληψη αυτή συνεπάγεται την ύπαρξη μιας αυθεντίας, όπως ο δάσκαλος ή ο συγγραφέας του βιβλίου των Μαθηματικών, ο οποίος ξέρει τους κανόνες και τους μεταφέρει στο μαθητή (Schoenfeld, 1985, Garofalo, 1989).
Τέτοιες αντιλήψεις εμποδίζουν τους μαθητές να κατανοήσουν ότι υπάρχουν εναλλακτικές στρατηγικές και προσεγγίσεις σε πολλά μαθηματικά προβλήματα με συνέπεια να χάνουν σημαντικές μαθηματικές εμπειρίες όπως το να διερευνούν προβλήματα, να θέτουν ερωτήματα, να υποθέτουν κάποιες σχέσεις και να δοκιμάζουν αν ισχύουν (Ponte et al, 1994).
Οι καινούριες διδακτικές πρακτικές, που υπαγορεύονται από τα πρόσφατα ερευνητικά δεδομένα, στρέφονται προς τη μετατροπή της “παραδοσιακής” σχολικής τάξης σε ένα εργαστήρι, όπου δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να συμμετέχει ενεργά στην απόκτηση της γνώσης, επιτρέποντάς του να πειραματίζεται, να διερευνά μαθηματικές έννοιες και προβλήματα συνεργαζόμενος με τους συμμαθητές του και έχοντας τον καθηγητή συνεργάτη και καθοδηγητή του.
Το προτεινόμενο σενάριο στοχεύει στην ενδυνάμωση των χαρακτηριστικών στοιχείων των καινούριων διδακτικών πρακτικών
Οι προτεινόμενες δραστηριότητες δίνουν τις κατευθυντήριες γραμμές στον καθηγητή για να κατευθύνει και αυτός με τις σειρά του τους μαθητές να πειραματιστούν και διερευνήσουν καταστάσεις που περικλείουν τη χρήση μαθηματικών εννοιών. Τα ερωτήματα που δίνονται είναι ανοικτά και μπορούν να επεκταθούν είτε από τον καθηγητή, είτε από τους μαθητές κατά τη διάρκεια της διαδικασίας.
2.2. Ο ρόλος των προς χρήση εργαλείων (τεχνολογικών και άλλων) στο συγκεκριμένο σενάριο
Το προτεινόμενο λογισμικό ανταποκρίνεται στις εξής δεσμεύσεις που απορρέουν από τα ερευνητικά ευρήματα και εξυπηρετούν τις ανάγκες των προτεινόμενων δραστηριοτήτων:
2.3. Αναφορά στα καινοτομικά στοιχεία του σεναρίου και των εργαλείων στη σχολική κοινότητα και στον αναμενόμενο ρόλο τους για τους συμμετέχοντες
Διεθνώς, στις εκπαιδευτικές διαδικασίες, κυριαρχεί το σκεπτικό του εκπαιδευτικού εκσυγχρονισμού ώστε να εναρμονιστούν τα σχολεία με τις απαιτήσεις της σύγχρονης οικονομικής και κοινωνικής πραγματικότητας. Ένας από τους βασικούς στόχους της προσπάθειας αυτής είναι η δημιουργία πολιτών ικανών να ενταχτούν στην κοινωνία των πληροφοριών, που το κύριο χαρακτηριστικό της είναι η εύκολη πρόσβαση σε πληθώρα πληροφοριών από τις οποιες καλούνται να επιλέξουν και να αξιοποιήσουν τις κατάλληλες και χρήσιμες. Μέσα σε ένα τέτοιο κοινωνικό πλαίσιο στόχος της εκπαίδευσης είναι η δημιουργία πολιτών ικανών να ‘μάθουν να μαθαίνουν’.
Η χρήση του υπολογιστή στις εκπαιδευτικές διαδικασίες ενισχύει ή και τροποποιεί τον παραδοσιακό τρόπο μάθησης στα εξής βασικά σημεία:
Επίσης, για να χαρακτηριστεί ένα εκπαιδευτικό λογισμικό ως κατάλληλο θα πρέπει να πληροί τις εξής βασικές αρχές:
1. Nα προσφέρει στον καθηγητή εναλλακτικούς τρόπους διδασκαλίας που δεν του προσφέρουν τα άλλα εκπαιδευτικά μέσα
2. Nα μπορεί εύκολα να προσαρμόζεται από τον καθηγητή για να ταιριάζει στον τρόπο διδασκαλίας του
3. Nα είναι εύκολο στη χρήση του
4. Nα δραστηριοποιεί τους μαθητές και να τους κάνει να συμμετέχουν
5. Nα δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να εκφράζουν τις διαισθητικές αντιλήψεις τους και να πειραματίζονται με αυτές (Kynigos et all, 1993)
6. Nα ενισχύει την μάθηση ως προϊόν της ενεργούς συμμετοχής των μαθητών
Όπως προαναφέρθηκε το καινοτομικό μαθησιακό περιβάλλον που προτείνεται από το σενάριο αλλάζει τόσο το ρόλο του μαθητή όσο και το ρόλο του καθηγητή. Για να προσαρμοστεί ο καθηγητής στις νέες εκπαιδευτικές πρακτικές που απαιτούνται, θα πρέπει να επιμορφωθεί κατάλληλα ώστε να είναι σε θέση να επαναπροσδιορίσει τη “διδακτική του αντζέντα” (διδακτικοί και παιδαγωγικοί του στόχοι), η οποία διαμορφώνεται από τις αντιλήψεις του για τη φύση του μαθήματος, από την προσωπική παιδαγωγική και διδακτική πρακτική, από την αντίληψη που έχει για το ρόλο του και από το διαθέσιμο χρόνο.
3. Δραστηριότητες
Ένταξη στο Αναλυτικό Πρόγραμμα
Το πρόβλημα της πίτσας μπορεί να ενταχθεί σε μία σειρά ασκήσεων που αναφέρονται στην εύρεση του μήκους κύκλου και του εμβαδού κύκλου στη Β΄τάξη Γυμνασίου.
Σχόλια για τη λύση του προβλήματος
Για να λύσουν οι μαθητές το πρόβλημα της πίτσας στο τετράδιό τους θα πρέπει να βρουν για κάθε μέγεθος πίτσας:
α) το μήκος της ακτίνας της
β) το μήκος της περιφέρειάς της
γ) το εμβαδόν της
δ) την τιμή της πίτσας πληρώνοντας με την περιφέρεια
ε) την τιμή της πίτσας πληρώνοντας με το εμβαδόν
και τελικά να συγκρίνουν πέντε διαφορετικά δ) και ε) για να αποφασίσουν για το ποιος τρόπος πληρωμής τους συμφέρει. Αυτή είναι μία διαδικασία χρονοβόρα και επιπλέον εάν δεν οργανωθούν σωστά τα αποτελέσματα στο τετράδιο (με πίνακα) δεν θα μπορέσουν να απαντήσουν στο πρόβλημα σωστά.
Το προτεινόμενο λογισμικό δίνει τη δυνατότητα του γρήγορου υπολογισμού μέσω γενικευμένων σχέσεων, της δημιουργίας συναρτησιακών σχέσεων συμμεταβαλόμενων μεγεθών, της σωστής οργάνωσης και επιπλέον της γραφικής αναπαράστασης του προβλήματος. Δίνεται παρακάτω μία σειρά δραστηριοτήτων που αξιοποιούν τις δυνατότητες του προαναφερθέντος λογισμικού για τη λύση του προβλήματος και για την επέκταση των ερωτημάτων του.
1η Δραστηριότητα
Ζητείται κατ’ αρχήν από τους μαθητές να σκεφτούν τι πρέπει να κάνουν για να βρουν την τιμή κάθε μεγέθους πίτσας και παροτρύνονται να χρησιμοποιήσουν την ψηφίδα του calculator για να κάνουν τις απαιτούμενες πράξεις. Οι επαναλαμβανόμενες διαδικασίες που θα κάνουν οι μαθητές για να βρουν την τιμή για κάθε μέγεθος πίτσας, μπορούν να αποτελέσουν το ερέθισμα για την κατασκευή ‘νέων κουμπιών’(γενικευμένων σχέσεων), δυνατότητα που παρέχεται από την ψηφίδα αυτή και την διαφοροποιεί από το συνηθισμένο calculator. Την αναγκαιότητα δημιουργίας ‘νέων κουμπιών’ στην ψηφίδα αυτή μπορεί να αποτελέσει και το ερώτημα: Ο ιδιοκτήτης της πιτσαρίας θα ήθελε να μπορεί να υπολογίζει γρήγορα την τιμή μιας πίτσας με οποιαδήποτε διάμετρο που θα του παράγγελναν. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;
Με τη δημιουργία του κουμπιού ‘τιμή με περιφέρεια’ (διάμετρος*π*20) και του κουμπιού ‘τιμή με εμβαδόν’ (π*(διάμετρος/2)2) οι μαθητές είναι σε θέση να υπολογίσουν την τιμή κάθε πίτσας με οποιαδήποτε διάμετρο και στις δύο περιπτώσεις. Μετά τη δημιουργία των νέων κουμπιών η ψηφίδα του πίνακα θα έχει τη μορφή που φαίνεται παρακάτω
2η Δραστηριότητα
Για την απάντηση στην ερώτηση ‘ποιο τρόπο θα διαλέγατε για να πληρώσετε την πίτσα που αγοράσατε’ γίνεται κατανοητή η αναγκαιότητα της σύγκρισης των τιμών για κάθε μέγεθος πίτσας που υπολογίστηκε στην ψηφίδα του calculator.
Η ψηφίδα του πίνακα-συνάρτηση δίνει τη δυνατότητα της οργάνωσης των δεδομένων και επιπλέον της σταδιακής σύνδεσης των μεταβαλλόμενων μεγεθών του προβλήματος με συναρτήσεις.
Ζητείται λοιπόν από τους μαθητές να σκεφτούν και να συμπληρώσουν στη σειρά των εξισώσεων του πίνακα τις σχέσεις που συνδέουν τη διάμετρο της πίτσας με την ακτίνα της, το μήκος της περιφέρειά της, το εμβαδόν της και κατόπιν την τιμή της πίτσας με την περιφέρεια και την τιμή της με το εμβαδόν. Η μορφή που θα παρουσιάζει ο πίνακας σε αυτή τη φάση φαίνεται παρακάτω
Όταν οι μαθητές συμπληρώσουν τις τιμές της διαμέτρου στην πρώτη στήλη του πίνακα θα συμπληρωθούν αυτόματα και οι άλλες στήλες και ο πίνακας θα έχει την μορφή:
Μετά από παρατήρηση και σύγκριση των τιμών των δύο τελευταίων στηλών σε σχέση με την πρώτη στήλη, οι μαθητές είναι σε θέση να απαντήσουν στο ερώτημα που βάζει το πρόβλημα.
3η Δραστηριότητα
Ζητείται από τους μαθητές να αναπαραστήσουν γραφικά τη σχέση μεταξύ d, p και τη σχέση μεταξύ d, m μεταφέροντας τα σημεία των αντίστοιχων στηλών στην ψηφίδα των γραφικών και να κάνουν τις παρατηρήσεις τους πάνω στις γραφικές παραστάσεις.
4η Δραστηριότητα
Μία αναμενόμενη παρατήρηση των μαθητών στην ψηφίδα των γραφικών είναι ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε κάποιο σημείο. Ζητείται λοιπόν να εξηγήσουν τι σημαίνει αυτό και να αναζητήσουν το σημείο τομής τους.
Μία πρώτη προσέγγιση του θέματος δείχνει ότι κάπου ανάμεσα στις τιμές 30 και 45 της διαμέτρου υπάρχει μία συγκεκριμένη διάμετρος πίτσας για την οποία θα πληρώσουν τα ίδια χρήματα με όποιο τρόπο πληρωμής και αν διαλέξουν. Αυτό θα φανεί καλύτερα αν ενεργοποιήσουμε στην ψηφίδα του πίνακα την εντολή fill between για τις τιμές 30 και 45 με βήμα 1
Ο πίνακας κατόπιν αυτού παρουσιάζει την παρακάτω εικόνα από την οποία οι μαθητές μπορούν εύκολα να βγάλουν το συμπέρασμα ότι για διάμετρο πίτσας ίση με 32 cm θα πληρώσουν τα ίδια χρήματα με όποιον τρόπο πληρωμής και αν διαλέξουν.
