Το στάσιμο κύμα προκύπτει ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων τα οποία διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο σε κατευθύνσεις αντίθετες.

η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

Φανταζόμαστε δύο αρμονικά κύματα του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας να διαδίδονται στο ίδιο ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ προς αντίθετες κατευθύνσεις και να συμβάλλουν. Επιδιώκουμε να προβλέψουμε θεωρητικά το αποτέλεσμα της συμβολής. Για να το πετύχουμε απλοποιούμε το μοντέλο μας θεωρώντας ότι τα δύο κύματα είναι εγκάρσια και ότι οι ταλαντώσεις γίνονται στο ίδιο επίπεδο.

Επιλέγουμε έναν άξονα x΄ x με κριτήριο να συμπίπτει με τη διεύθυνση της διάδοσης. Ως αρχή των αξόνων επιλέγουμε ένα γεωμετρικό σημείο το οποίο θα συμπίπτει βέβαια με τη θέση ισορροπίας κάποιου σημειακού ταλαντωτή, ας τον ονομάσουμε Ο.

Για λόγους απλούστευσης η επιλογή της αρχής των αξόνων γίνεται με το εξής κριτήριο.

«Αν η κίνηση που θα εκτελούσε ο ταλαντωτής Ο λόγω του προς τα δεξιά κύματος περιγράφεται με την εξίσωση y = Aημωt, η κίνηση που θα εκτελούσε, ο ίδιος ταλαντωτής, λόγω του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος να περιγράφεται με την y΄= Aημωt.».

Αυτό σημαίνει ότι η αρχή των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε η σύνθετη κίνηση του ταλαντωτή Ο που έχει ως θέση ισορροπίας το σημείο αυτό να περιγράφεται με την εξίσωση ξ = 2Aημωt, η ότι «ο ταλαντωτής που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με πλάτος 2 Α».

Θεωρούμε τώρα έναν άλλο (σημειακό) ταλαντωτή , τον Μ, με θέση ισορροπίας κάποιο γεωμετρικό σημείο του θετικού ημιάξονα σε απόσταση + x, από την αρχή των αξόνων.

Λόγω του προς τα δεξιά διαδιδόμενου κύματος η κίνηση του Μ περιγράφεται με την y_Μ = Aημω(t- x/c).

Η εξίσωση εκφράζει το γεγονός ότι σε κάθε "ΤΩΡΑ", ο Μ, ΕΧΕΙ την απομάκρυνση που ΕΙΧΕ ο ταλαντωτής Ο πριν από χρόνο x/c, όπου c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος .

Ας δούμε και πώς επηρεάζεται ο Μ λόγω του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος. Το κύμα αυτό δημιουργεί, όπως είπαμε, στον Ο την ταλάντωση y΄ = Aημωt. Λόγω αυτού του προς τα αριστερά κύματος ο ταλαντωτής Ο θα πρέπει σε κάθε στιγμή ΝΑ ΕΧΕΙ την απομάκρυνση την οποία ΕΙΧΕ ο Μ πριν από χρόνο x/c.

Αυτό σημαίνει ότι εφόσον η εξίσωση κίνησης του Ο λόγω του προς τα αριστερά κύματος είναι η y ΄ = Aημωt

η εξίσωση κίνησης του Μ λόγω του ίδιου αυτού κύματος θα είναι η y_Μ ΄ = Aημω(t+ x/c).

Ο ταλαντωτής Μ συμμετέχει όμως και στις δύο κινήσεις με συνέπεια η εξίσωση της κίνησής του να είναι

ξ = Aημω (t- x/c) + Aημω(t+ x/c) άρα ξ = 2Aσυν(ωx/c) ημωt

Για τον συγκεκριμένο ταλαντωτή Μ, τη σχέση αυτή τη «βλέπουμε» ως μία ημιτονοειδή συνάρτηση της απομάκρυνσης ξ με τον χρόνο t και μπορούμε να συμπεράνουμε

ότι ι « η κίνηση είναι αρμονική ταλάντωση πλάτους 2Aσυν(ωx/c)».

Εφόσον ο Μ είναι ένας οποιοσδήποτε ταλαντωτής (υλικό σημείο του ελαστικού μέσου) το συμπέρασμα είναι ότι, με την εξαίρεση ορισμένων που παραμένουν ακίνητα, κάθε υλικό σημείο του ελαστικού μέσου εκτελεί αρμονική ταλάντωση

η ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

α. Η σχέση ξ = 2Aσυν(ωx/c) ημωt επιβεβαιώνει την ύπαρξη δεσμών και κοιλιών και -με βάση την επιλογή

που κάναμε- στην αρχή των αξόνων βρίσκεται μία κοιλία.

Το σύμβολο x συνεπώς παριστάνει την απόσταση από μία κοιλία.

β. η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών είναι σταθερή και ίση με το μισό (λ/2) του μήκους κύματος καθενός από τα κύματα που δημιούργησαν το στάσιμο. Το ίδιο ισχύει και για την απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών.

γ. Η απόσταση κάθε δεσμού από την επόμενη κοιλία είναι σταθερή και ίση με το ¼ του μήκους κύματος καθενός από τα κύματα που δημιούργησαν το στάσιμο.

δ. Τα μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών κινούμενα υλικά σημεία βρίσκονται συνεχώς σε συμφωνία φάσεως.

Αυτό θα πει ότι τη στιγμή που ένα από αυτά βρίσκεται στο άκρο της δικής του ταλάντωσης, καθένα από τα υπόλοιπα βρίσκεται στο του άκρο της δικής του ταλάντωσης. Με άλλα λόγια όλα μαζί περνούν από τη θέση στην οποία μηδενίζεται η ταχύτητά τους. Και όχι μόνον αυτό. Όλα μαζί περνούν από τη θέση ισορροπίας. Και όχι μόνον αυτό. Εάν κάποιο από τα υλικά σημεία του μέσου βρίσκεται σε κάποια χρονική στιγμή βρίσκεται σε απομάκρυνση ίση με το 1/8 του πλάτους κινούμενο - ας υποθέσουμε - προς τα κάτω, όλα τα υπόλοιπα, μεταξύ των δύο δεσμών, υλικά σημεία θα βρίσκονται σε απομάκρυνση ίση με το 1/8 του πλάτους, κινούμενα προς τα κάτω.

Σελίδες στο Internet

http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/stwave.gif

http://id.mind.net/~zona/mstm/physics/waves/interference/waveInterference2/WaveInterference2.html

http://www2.truman.edu/~velasco/swave.html

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/StatWave.htm

http://www.upscale.utoronto.ca/IYearLab/Intros/StandingWaves/Flash/reflect.html

Γερμανικά

http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/swave1.html

Ισπανικά

http://www.ehu.es/acustica/bachillerato/suones/suones.html - EJEMPLOS Y SIMULACIONES