ΜΑΡΤΙΟΣ 2003

 

ΤΑΞΗ Γ΄                                       ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

 

 

ΘΕΜΑ I

 

Δίνεται η συνάρτηση f : (0,+)R η οποία είναι γνησίως αύξουσα

 και δυο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

                        Αν f(1)=0 και f(f ΄(x))+f(x)=0 για x>0 να δείξετε ότι:

(i)                            f ΄(1)=1.

(ii)                      (f ΄f ΄)_(x)=x, x>0.

(iii)                   xf΄΄ (x) +f ΄(x)=0, x>0

Επίσης να βρεθεί ο τύπος της f.

 

ΘΕΜΑ II            

 

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ αν ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις  (1) και

(α-α²--β)² + (2^γ-α)²=0 (2).  Για τις τιμές αυτές  των α,β,γ που θα βρείτε να δείξετε ότι το πολυώνυμο

P(x)=2αx⁵ – (1-γ)x +β+1 έχει ακριβώς μια ρίζα ρ(0,1).