Σφάλματα Οργάνων Μέτρησης Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ α) Ακρίβεια της μέτρησης Οι ηλεκτρικές μετρήσεις διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: α) Στις μετρήσεις μεγάλης ακρίβειας που γίνονται στα Εθνικά Εργαστήρια Προτύπων διαφόρων τεχνολογικά ανεπτυγμένων χωρών και το σφάλμα κυμαίνεται από 0,01 έως 0,0001 β) Τεχνικές μετρήσεις ακρίβειας που γίνονται σε κατάλληλα εξοπλισμένα εργαστήρια, π.χ. Μετσόβιο Πολυτεχνείο γ) Βιομηχανικές μετρήσεις που γίνονται στις βιομηχανίες και το σφάλμα μέτρησης είναι μεγαλύτερο από 0,01. Τέτοιες μετρήσεις πραγματοποιούνται και στα εργαστήρια των ΕΚ. Σημείωση: Όσο μεγαλύτερη ακρίβεια επιτυγχάνουμε σε μια μέτρηση τόσο αυξάνει το κόστος της μέτρησης. Ένα όργανο μέτρησης θα πρέπει να παράγει ιδανικά μια ένδειξη η οποία να αντιστοιχεί ακριβώς στο μετρούμενο φυσικό μέγεθος. Επειδή όμως αυτό δεν συμβαίνει, έχουν ορισθεί διάφορα μεγέθη τα οποία εκφράζουν την απόκλιση μεταξύ της μετρούµενης και της πραγματικής τιμής του φυσικού μεγέθους. Απόλυτο σφάλμα Δx: ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της μετρούµενης τιμής x και της πραγματικής τιμής xο του φυσικού μεγέθους Δx = x – xo Όμως επειδή δεν γνωρίζουμε την πραγματική τιμή xο ενός μεγέθους – αλλιώς γιατί να το μετρήσουμε -, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε και το ακριβές σφάλμα ε. Έτσι, αυτή η σχέση δεν έχει πρακτικό ενδιαφέρον. Ερώτημα: Αλλά και πρακτικό ενδιαφέρον να είχε, θα μπορούσαμε να πούμε ποια, από μια σειρά μετρήσεων, είναι πιο ακριβής με βάση το απόλυτο σφάλμα; Δραστηριότητα: Με ένα βολτόμετρο μετράω μια τάση ίση με 99 Volt, γνωρίζοντας ότι η πραγματική της τιμή είναι 100 V. Με το ίδιο βολτόμετρο μετράω μια διαφορετική τάση και την υπολογίζω 998 Volt γνωρίζοντας ότι η πραγματική της τιμή είναι 1000V. Πόσο είναι το απόλυτο σφάλμα κάθε μέτρησης; Ποια μέτρηση θεωρείται πιο αξιόπιστη; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ερώτημα: Ποιο συμπέρασμα βγάζετε από την παραπάνω δραστηριότητα; Μπορούμε, τελικά, να αποφασίσουμε ποια μέτρηση είναι πιο αξιόπιστη με βάση το απόλυτο σφάλμα; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Σχετικό σφάλμα: ορίζεται από το λόγο του απόλυτου σφάλματος προς την πραγματική τιμή του φυσικού μεγέθους Καθώς συνήθως ισχύει x ≈ xo , το σχετικό σφάλμα ορίζεται συχνά ως προς τη μετρούμενη τιμή του φυσικού μεγέθους x, η οποία είναι γνωστή Δραστηριότητα: Με ένα βολτόμετρο μετράω μια τάση ίση με 99 Volt, γνωρίζοντας ότι η πραγματική της τιμή είναι 100 V. Με το ίδιο βολτόμετρο μετράω μια διαφορετική τάση και την υπολογίζω 998 Volt γνωρίζοντας ότι η πραγματική της τιμή είναι 1000V. Πόσο είναι το σχετικό σφάλμα κάθε μέτρησης; Ποια μέτρηση θεωρείται πιο αξιόπιστη; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ερώτημα: Ποιο αποτέλεσμα θεωρείτε πιο αξιόπιστο, αυτό που αφορά στο απόλυτο σφάλμα ή αυτό που αφορά στο σχετικό σφάλμα; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… β) Ακρίβεια των Οργάνων Μέτρησης Εκτός από την ακρίβεια των μετρήσεων, μας ενδιαφέρει και η ακρίβεια των ίδιων των οργάνων μέτρησης. Αυτή εκφράζεται με το μέγιστο και το σχετικό σφάλμα, που μπορεί να κάνει κατά τη μέτρηση το όργανο και δίνεται από τη σχέση Μέγιστο Απόλυτο Σφάλμα = ((Ακρίβεια Οργάνου) x (Μέγιστο Κλίμακας))/100 Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα = (Μέγιστο Απόλυτο Σφάλμα)/(Ένδειξη Μέτρησης) 100% Ουσιαστικά, η ακρίβεια των οργάνων – ή αλλιώς κλάση οργάνων - είναι ένας τρόπος να δείξουμε το μέγεθος του σφάλματος του οργάνου κατά την πραγματοποίηση μετρήσεων Τα όργανα μέτρησης υπάγονται σε επτά κλάσεις ακρίβειας: 0,1 – 0,2 – 0,5 – 1 – 1,5 – 2,5 – 5 Όργανο κλάσης ακριβείας 0,5 σημαίνει ακρίβεια του οργάνου +-0,5%. Τα όργανα με κλάσεις ακρίβειας 0,1 – 0,2 – 0,5 είναι εργαστηριακής ακρίβειας ενώ τα όργανα με κλάσεις ακρίβειας 1 – 1,5 – 2,5 – 5 είναι βιομηχανικής ακρίβειας γ) Τυχαία και Συστηματικά Σφάλματα Τα σφάλματα στη μέτρηση των φυσικών μεγεθών διακρίνονται σε τυχαία και συστηματικά α) Τα τυχαία σφάλματα οφείλονται στην επίδραση της θερμοκρασίας της υγρασίας της πίεσης, στα ηλεκτρικά ή τα μαγνητικά πεδία και τον ανθρώπινο παράγοντα (εσφαλμένη ανάγνωση της κλίμακας του οργάνου, επιλογή ακατάλληλης κλίμακας). Έτσι, τα τυχαία σφάλματα μεταβάλλονται µε απρόβλεπτο τρόπο μεταξύ διαδοχικών μετρήσεων του ίδιου μεγέθους. Χαρακτηριστικό τους γνώρισμα είναι ότι άλλοτε αυξάνουν και άλλοτε μειώνουν τη τιμή του μεγέθους. Μπορεί να οφείλονται στην έλλειψη ευαίσθητης απόκρισης του οργάνου ή στον παρατηρητή (σφάλματα ανάγνωσης), στον εξωτερικό «θόρυβο», ή σε στατιστικές διαδικασίες (όπως είναι η ρίψη ενός ζαριού). Τα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα και περιγράφονται με τη στατιστική θεωρία. Σύμφωνα με τη στατιστική θεωρία εάν ένα φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο τότε η οριακή κατανομή που θα προκύψει (μετά από άπειρες προσπάθειες) θα είναι μια κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss. β) Τα Συστηματικά Σφάλματα, αντίθετα από τα τυχαία, παραμένουν σταθερά σε διαδοχικές μετρήσεις και οφείλονται σε κατασκευαστικές ατέλειες ή περιορισμούς που θέτει η κατασκευή είτε η αρχή λειτουργίας του ίδιου του οργάνου (μέθοδος μέτρησης), σε κακή ρύθμιση του οργάνου, στη γήρανση των εξαρτημάτων του οργάνου και στη μεταβολή των συνθηκών του φυσικού συστήματος από την εισαγωγή του οργάνου μέτρησης. Επομένως, τα συστηματικά σφάλματα αντισταθμίζονται εύκολα, εφόσον εντοπιστούν, σε αντίθεση µε τα τυχαία. Χαρακτηριστικό τους γνώρισμα είναι ότι , ή αυξάνουν τις τιμές μόνιμα ή τις μειώνουν μόνιμα. Β. ΠΟΡΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α μέρος Χρησιμοποιήστε ένα αναλογικά όργανο μέτρησης με πολλές κλίμακες και περιοχές μέτρησης. Ποια είναι η Κλάση Ακρίβειας του οργάνου μέτρησης που χρησιμοποιείτε; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ποιες οι κλίμακες του οργάνου μέτρησης που χρησιμοποιείτε; ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Ποιες οι περιοχές μέτρησης του οργάνου μέτρησης που χρησιμοποιείτε; ………………………………………………………………….. Για κάθε κλίμακα να υπολογίσετε το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλμα. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Β μέρος Για μία από τις κλίμακες που περιλαμβάνει το όργανο μέτρησης, υποθέστε πέντε διαφορετικές ενδείξεις μέτρησης. Ποια είναι η περιοχή αποδεκτών τιμών για κάθε κλίμακα; Ποιο είναι το μέγιστο σχετικό σφάλμα για κάθε κλίμακα; Καταγράψτε τα αποτελέσματα στον πίνακα 1 Γ μέρος Διατηρώντας σταθερό το μετρούμενο μέγεθος, χρησιμοποιήστε όλες τις περιοχές μέτρησης του οργάνου μέτρησης. Ποιο είναι το μέγιστο κάθε κλίμακας; Ποιο είναι το μέγιστο απόλυτο σφάλμα για κάθε κλίμακα που χρησιμοποιήσατε; Ποια είναι η περιοχή αποδεκτών τιμών για κάθε κλίμακα; Ποιο είναι το μέγιστο σχετικό σφάλμα για κάθε κλίμακα; Καταγράψτε τα αποτελέσματα στον πίνακα 2 Γ. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Δ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μπορείτε να συμπεράνετε, με βάση τις ενδείξεις του πίνακα 1 και 2, πότε μειώνεται το μέγιστο σχετικό σφάλμα μιας μέτρησης; Η απάντηση σας να δοθεί με βάση τη θέση της βελόνας στην αντίστοιχη κλίμακα

Εάν τα σφάλματα των μετρήσεων είναι τυχαία θα διαφέρουν ως προς το πρόσημο και ως προς το μέγεθος. ΄Έτσι στον υπολογισμό της μέσης τιμής κάποια από τα τυχαία σφάλματα αλληλοαναιρούνται στο άθροισμα. Η επανάληψη πολλών μετρήσεων είναι και ο καλύτερος τρόπος περιορισμού των τυχαίων σφαλμάτων

Σκοπός της Άσκησης Με το τέλος της άσκησης οι μαθητές θα είναι σε θέση να: 1. Υπολογίζουν το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα του οργάνου μέτρησης κατά τη μέτρηση ενός μεγέθους 2. Να συσχετίζουν το σφάλμα κατά τη μέτρηση ενός μεγέθους με την κλάση ακρίβειας του οργάνου μέτρησης 3. Να επιλέγουν την σωστή κλίμακα και περιοχή μέτρησης ενός οργάνου ώστε να μειώνουν, όσο το δυνατόν, το σχετικό σφάλμα της μέτρησης

Tα τυχαία σφάλματα υπάρχουν πάντα, ενώ τα συστηματικά όχι Tο συστηματικό σφάλμα μένει σχεδόν πάντα σταθερό σ’ όλη τη διάρκεια της μέτρησης. Το τυχαίο σφάλμα μεταβάλλεται και μπορεί να είναι και θετικό και αρνητικό. Αν δεν έχουμε συστηματικά σφάλματα οι μετρήσεις μας βρίσκονται γύρω από την πραγματική τιμή. Ενώ αν υπάρχουν συστηματικά οι μετρήσεις μας είναι όλες μετατοπισμένες (και διασκορπισμένες) προς μια κατεύθυνση, θετική ή αρνητική σε σχέση με την πραγματική τιμή.

Tα τυχαία σφάλματα είναι αναπόφευκτα, οφείλονται κύρια σε αντικειμενικές αιτίες και σε τελευταία ανάλυση δεν επιδρούν στα αποτελέσματα των μετρήσεων μας παρά μόνο στην ακρίβειά τους. Tα συστηματικά σφάλματα οφείλονται κύρια σε κακή λειτουργία και ρύθμιση των οργάνων μας ή της μεθόδου που χρησιμοποιούμε, κάνουν τα αποτελέσματά μας λαθεμένα, μπορούν και πρέπει να αποφεύγονται στο βαθμό που τα ανακαλύπτουμε.

Ένα πολύ συνηθισμένο συστηματικό σφάλμα είναι το αποκαλούμενο σφάλμα του μηδενός, δηλαδή το γεγονός, ότι το όργανο που χρησιμοποιούμε δεν δείχνει μηδέν όταν θα έπρεπε. Για παράδειγμα αυτό μπορούμε να το δούμε σ’ ένα βολτόμετρο που ενώ στα άκρα του δεν εφαρμόζουμε τάση δείχνει π.χ. 0.2 V, ενώ θα έπρεπε να δείχνει μηδέν. Σ’ αυτή την περίπτωση αν, κάνοντας τη μέτρηση, διαβάσουμε απλώς την ένδειξη του οργάνου, θα έχουμε κάνει συστηματικό σφάλμα.

To σφάλμα παράλλαξης, είναι το σφάλμα που οφείλεται στο ότι δεν κοιτάμε σωστά τη βελόνα του αναλογικού μας οργάνου. Είναι χαρακτηριστικό ότι πολλά αναλογικά όργανα έχουν πίσω από τη βελόνα έναν μικρό καθρέφτη που μας βοηθάει να εκμηδενίσουμε ή να μειώσουμε στο ελάχιστο το σφάλμα παράλλαξης βλέποντας τη βελόνα να ταυτίζεται με το είδωλό της, κάνοντας έτσι την ανάγνωση της ένδειξης αντικειμενική.

Μια κατηγορία τυχαίων σφαλμάτων είναι τα λεγόμενα σφάλματα ανάγνωσης, που εκφράζουν το αναπόφευκτο σφάλμα που κάνουμε όταν διαβάζουμε κάποια ένδειξη του οργάνου μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Συνήθως η μέτρησή μας στο εργαστήριο ανάγεται στην ανάγνωση κάποιων ενδείξεων από τα όργανα τα οποία χρησιμοποιούμε π.χ μέτρηση μήκους με υποδεκάμετρο, μέτρηση τάσης με βολτόμετρο κλίμακας κλπ. Αυτή η διαδικασία που είναι πολύ γνωστή εμπεριέχει τα σφάλματα.

Όπως ήδη έχουμε πει, Δx = x - xo όπου Δx είναι το απόλυτο σφάλμα και ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της μετρούµενης τιμής x και της πραγματικής τιμής xο του φυσικού μεγέθους

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ