Απόδειξη  του  Πυθαγορείου  θεωρήματος

Στο διπλανό σχήμα : Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου ΑΒΔΕ και από το σημείο αυτό φέρουμε  ΖΚ//ΒΓ  ,  .Από το παραλληλόγραμμο ΖΒΓΚ  έχουμε  ΖΚ=ΒΓ  και  ΒΖ=ΚΓ .Εύκολα αποδεικνύεται ότι το  σημείο Ο είναι το μέσο  των ΖΚ  και ΛΜ.

Τα τρίγωνα ΒΖΟ  και ΕΟΚ  είναι ίσα (ΟΒ=ΟΕ, ΟΖ=ΟΚ και οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες) άρα ΒΖ=ΕΚ ,όμοια αποδεικνύεται ότι ΔΖ=ΑΚ, ΑΜ= ΔΛ και ΒΜ=ΕΛ.

Είναι :  

 ,οι γωνίες ΒΟΜ ,ΑΟΚ είναι ίσες επειδή έχουν τις πλευρές κάθετες και  ΟΒ=ΟΑ  ,άρα τα τρίγωνα ΒΟΜ και ΑΟΚ είναι ίσα .Συνεπώς  είναι  ΒΜ=ΑΚ  και ΟΜ=ΟΚ .Έτσι  τα τμήματα  ΔΖ,ΑΚ,ΒΜ,ΛΕ  είναι ίσα , άρα  και τα  ΒΖ,ΚΕ,ΑΜ,ΔΛ  είναι ίσα

Έπειδή ΒΖ=ΚΓ =ΑΓ+ΑΚ έχουμε ΑΓ=ΒΖ-ΑΚ  δηλ  η πλευρά  ΑΓ είναι ίση με τη διαφορά των δύο μη ίσων πλευρών των τετραπλεύρων .Αν μεταφέρουμε  το πολύγωνο ΑΜΟΚ παράλληλα  ώστε το Ο να ταυτιστεί με το Β ,στη θέση Μ΄Α΄Κ΄Β  τότε το Μ΄ θα είναι το μέσο της ΒΙ  και το Κ΄ της ΒΓ. Όμοια μεταφέρουμε το ΜΟΖΒ στη θέση Κ΄ΓΖ΄Β΄,το ΟΖΔΛ  στη Ζ΄ΗΛ΄Δ΄ και το ΟΛΕΚ  στη θέση ΙΜ΄Ε΄Λ΄. Η πλευρά Α΄Β΄ του  τετραγώνου Α΄Β΄Δ΄Ε΄ που σχηματίζεται στο κέντρο είναι ίση με τη διαφορά  των δύο μη ίσων πλευρών των τετραπλεύρων άρα ίση με την ΑΓ  συνεπώς το τετράγωνο αυτό θα καλυφθεί με το τετράγωνο της πλευράς ΑΓ.
 Επιστροφή                                           Κεντρική  σελίδα