Συστήματα  Γ- Γυμνασίου

Ξέρουμε ήδη ότι κάθε εξίσωση της μορφής  αx +βy=γ  με  α≠0 ή β≠0 παριστάνει μία ευθεία .π.χ η εξίσωση 2x+y=5 (1) παριστάνει μια ευθεία την οποία μπορούμε να σχεδιάσουμε στην παρακάτω εφαρμογή (Πατήστε το πλήκτρο "Applet" και στο παράθυρο που θα προκύψει βάλτε τον κέρσορα στη θέση α1 σβήστε το και γράψτε  2 ,όμοια στη θέση β1 γράψτε 1 και στη θέση γ1 γράψτε 5 και πατήστε το "ΟΚ")

Κάντε κλικ π.χ στο σημείο (2,1) ,το σχήμα σας πρέπει να είναι αυτό . .Δεν βρίσκουμε ακριβώς 5 επειδή δεν μπορούμε να επιλέξουμε ένα σημείο ακριβώς πάνω στην ευθεία .Κάντε και άλλες διαπιστώσεις.

Ας πάρουμε τώρα μια άλλη εξίσωση π.χ την  x-y=1 (2)  .(Δώστε  στο α2=1  στο β2=-1  στο γ2=1 και πατήστε το διπλανό "ΟΚ").Τώρα έχετε  και μία κόκκινη ευθεία .Οι συντεταγμένες κάθε σημείου αυτής της ευθείας επαληθεύουν την εξίσωση (2).(Εδώ δεν μπορούμε να το διαπιστώσουμε με το ποντίκι ).Καταλαβαίνουμε τώρα ,ότι αν πάρουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους (2,1),αυτές θα επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις .

    Βρήκαμε λοιπόν ότι το ζεύγος (x=2 ,  y=1) είναι κοινή λύση και των δύο εξισώσεων .
Όταν έχουμε δύο εξισώσεις όπως οι παραπάνω και ζητάμε την κοινή τους λύση ,λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους .

Παραπάνω λύσαμε το σύστημα   κάνοντας τις γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων του .Ο τρόπος αυτός λέγεται γραφική επίλυση του συστήματος .Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή μπορούμε εύκολα να λύσουμε όποιο σύστημα έχουμε (πατώντας το κουμπί "Αλγεβρική λύση " έχουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής και άλλες πληροφορίες).Λύσετε και σεις όποιο σύστημα θέλετε π.χ το .

Αν πάρουμε  το αρχικό σύστημα και  αντικαταστήσουμε τη δεύτερη εξίσωση του με την 4x+2y=3 ,θα έχουμε  το σύστημα .Λύσετε το σύστημα αυτό. Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες ,δεν έχουν κοινό σημείο άρα το σύστημα δεν έχει λύση. Το σύστημα αυτό  λέγεται αδύνατο .

Λύστε επίσης και το σύστημα .Παρατηρήστε τους συντελεστές των αγνώστων και τους σταθερούς σε κάθε σύστημα (τα α1 ,α2,β1,β2 ,γ1,γ2) και θα καταλάβετε πότε ένα σύστημα είναι αδύνατο .Κάνετε και δικά σας παραδείγματα. Αν διαπίστωσες πότε ένα σύστημα είναι αδύνατο επέλεξε ποια από τα παρακάτω συστήματα είναι αδύνατα πριν τα λύσεις .

Ας  πάρουμε τώρα το σύστημα  Λύσετε το σύστημα αυτό. Παρατηρούμε ότι οι ευθείες ταυτίζονται δηλ οι δύο εξισώσεις παριστάνουν την ίδια ευθεία .Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας είναι και λύση του συστήματος .Το σύστημα δηλ έχει  άπειρες λύσεις. Το σύστημα αυτό  λέγεται αόριστο.

Παρατηρήστε τους συντελεστές των αγνώστων και τους σταθερούς σε κάθε σύστημα (τα α1 ,α2,β1,β2 ,γ1,γ2) και θα καταλάβετε πότε ένα σύστημα είναι αόριστο .Κάνετε και δικά σας παραδείγματα. Αν διαπίστωσες πότε ένα σύστημα είναι αόριστο επέλεξε ποια από τα παρακάτω συστήματα είναι αόριστα πριν τα λύσεις .

 Επιστροφή