π (μαθηματική σταθερά)

Ο αριθμός π είναι μια μαθηματική σταθερά οριζόμενη ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου, ενώ με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με 3,14159265. Εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα π από τα μέσα του 18ου αιώνα, παρότι επίσης μερικές φορές γράφεται ως pi.

Continue reading «Ο αριθμός π»

                                                Η θεωρία των παραλλήλων

Το αίτημα του Ευκλείδη                                                                

Στο Βιβλίο I των «Στοιχείων» του ο Ευκλείδης ορίζει ως παράλληλες «τις ευθείες εκείνες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ’ άπειρον και

από τα δύο μέρη δε συναντώνται σε κανένα απ’ αυτά» (Ορισμός 23). Αμέσως μετά διατυπώνει πέντε αιτήματα, τα τέσσερα πρώτα από τα οποία εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες των γεωμετρικών κατασκευών με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, ενώ το πέμπτο αποφαίνεται ότι:
«Εάν μια ευθεία που τέμνει δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες από δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες προεκτεινόμενες επ’ άπειρον συναντώνται στο μέρος που οι σχηματιζόμενες γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές» (Αίτημα V).

Το αίτημα αυτό αποδεικνύεται ισοδύναμο με τις εξής προτάσεις:

(Ε1) Υπάρχει ευθεία α και σημείο Α εκτός αυτής τέτοιο, ώστε από το Α διέρχεται μία μοναδική ευθεία που δεν τέμνει την α.
(Ε2) Υπάρχει τετράπλευρο με τέσσερις ορθές γωνίες.
(Ε3) Το άθροισμα των γωνιών τυχόντος τριγώνου ισούται με δύο ορθές.
(Ε4) Υπάρχει τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών του οποίου να ισούται με δύο ορθές.
(Ε5) Αν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες, οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.
(Ε6) Τα σημεία που κείνται προς το ίδιο μέρος από δεδομένη ευθεία και σε μία και την αυτή απόσταση, σχηματίζουν ευθεία.
(Ε7) Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και αυτές αποκλίνουν η μία από την άλλη από το ένα μέρος, τότε από το άλλο μέρος συγκλίνουν.
(Ε8) Υπάρχουν όμοια τρίγωνα.
(Ε9) Υπάρχουν τρίγωνα με οσοδήποτε μεγάλο μέγεθος.
(Ε10)Έστω α τυχούσα ευθεία και Α σημείο εκτός αυτής. Τότε στο επίπεδο που ορίζεται από την ευθεία α και το σημείο Α υπάρχει όχι περισσότερες από μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και δεν τέμνει την ευθεία α (Αξίωμα παραλληλίας).
Το αίτημα του Ευκλείδη ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.
     Η θεωρία των παραλλήλων στην αρχαιότητα και το Βυζάντιο.

Continue reading «Θεωρία παραλλήλων»