La magnitude bivectorielle (notée par (a, b) ∧ (c, d)) est la zone signée, qui est aussi le déterminant ad − BC. Lewis Carroll de Alice Adventures in Wonderland Fame) a inventé une méthode de calcul des déterminants appelés Dodgson condensation. Ainsi, le déterminant est une carte multiplicatif. Par exemple, la méthode d`élimination gaussienne (ou de décomposition LU) est de l`ordre O (N3), mais la longueur des bits des valeurs intermédiaires peut devenir exponentiellement longue. Cette formule peut également être utilisée pour trouver le déterminant d`une matrice AIJ avec des indices multidimensionnels I = (I1, I2,…, IR) et J = (J1, J2,…, Jr). Les déterminants de L et vous pouvez être rapidement calculés, car ils sont les produits des entrées diagonales respectives. Ces propriétés mèneront alors à une méthode efficace pour calculer réellement le déterminant d`une matrice donnée. Malheureusement, cette méthode intéressante ne fonctionne pas toujours dans sa forme originale. Ainsi, Det A = 0.

Remarquez le modèle + − + − (+ a. le calcul du det (A) au moyen de cette formule est appelé expansion du déterminant le long d`une rangée, la i-ème rangée en utilisant la première forme avec i fixe, ou en étendant le long d`une colonne, en utilisant la deuxième forme avec j fixe. Il est parfois utile d`étendre la formule de Leibniz à une sommation dans laquelle non seulement les permutations, mais toutes les séquences de n indices dans la gamme 1,…, n se produisent, en veillant à ce que la contribution d`une séquence soit nulle à moins qu`elle ne dénote une permutation. Voir l`indépendance Wronskienne et linéaire. Cependant, l`expansion de Laplace est efficace pour les petites matrices seulement. Ceux-ci suffisent à calculer de façon unique le déterminant de n`importe quelle matrice carrée. Ceci est particulièrement intéressant pour les matrices sur les anneaux. Et vous n`avez pas à utiliser la première rangée; vous pouvez utiliser n`importe quelle ligne ou n`importe quelle colonne, aussi longtemps que vous savez où mettre les signes plus et moins. L`algorithme final ressemble beaucoup à un produit itéré de matrices triangulaires. Cela signifie qu`un {displaystyle A} mappe l`unité n-cube au parallotope n-dimensionnel défini par les vecteurs a 1, a 2,…, a n {displaystyle {mathbf {a}} _ {1}, {mathbf {a}} _ {2}, ldots, {mathbf {a}} _ {n}}, la région P = {c 1 a 1 + ⋯ + c n A n ∣ 0 ≤ c i ≤ 1 ∀ i}.

Si le nombre de transpositions qui définissent une permutation est pair, alors la permutation est dite même, et son signe est + 1. Le déterminant d`une telle matrice détermine si l`orientation de la base est conforme ou opposée à l`orientation de la base standard. La fonction déterminante peut être définie essentiellement par deux méthodes différentes. Si x 0 est le vecteur de colonne (1, 1, 1, 1, 1) T, le produit A x 0 est égal au vecteur zéro. L`algorithme Bareiss, d`autre part, est une méthode de division exacte basée sur l`identité de Sylvester est également de l`ordre N3, mais la complexité des bits est à peu près la taille des bits des entrées d`origine dans la matrice fois n. Ces propriétés signifient que le déterminant est une fonction multilinéaire alternée des colonnes qui mappe la matrice d`identité à l`unité sous-jacente scalaire. Si le déterminant de a et l`inverse de a ont déjà été calculés, le lemme déterminant de matrice permet le calcul rapide du déterminant de a + UVT, où vous et v êtes des vecteurs de colonne. Note: cela ne signifie pas que cette équation ne tient jamais.

Ainsi, det (A + B) = Det A + det B n`est pas une identité. En particulier, les produits et les inverses des matrices avec déterminant on ont encore cette propriété. Chaque déterminant d`une matrice 2 × 2 dans cette équation est appelé un «mineur» de la matrice A. L`inconvénient est que, très franchement, personne ne calcule réellement un déterminant par cette méthode.