Συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων ακολουθούμε τα εξής βήματα:

•Από το σημείο φέρνουμε κάθετες στους δύο άξονες.

• Σημειώνουμε στους δύο άξονες τις προβολές του σημείου.

• Κοιτάμε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν τα δύο αυτά σημεία.

• Οι δύο αριθμοί που βρήκαμε είναι οι συντεταγμένες του σημείου.

Παράδειγμα

Έστω Μ ένα σημείο του επιπέδου των δύο αξόνων. Από το Μ φέρνουμε κάθετη στον άξονα χ'χ που τον τέμνει στο σημείο Π. Στο σημείο Π παριστάνεται ένας πραγματικός αριθμός έστω α. ' Όμοια από το Μ φέρνουμε κάθετη στο y’y που τον τέμνει στο σημείο Ρ. Στο σημείο Ρ παριστάνεται επίσης ένας πραγματικός αριθμός έστω β.

Αντιστοιχίζουμε λοιπόν στο Μ δύο αριθμούς, πρώτα το α (στον χ' χ) και μετά το β (στον y'y) δηλαδή στο Μ αντιστοιχίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α, β).

Αν (α,β) = (2,3) δες το διπλανό σχήμα

Απόσταση δύο σημείων ενός άξονα

• Για να βρούμε την απόσταση δύο σημείων ενός άξονα αφαιρούμε τις τετμημένες των σημείων αυτών. Αν η διαφορά είναι θετική, αυτή είναι η απόσταση. Αν είναι αρνητική, παίρνουμε ως απόσταση την αντίθετη της. Έτσι, για να βρούμε την απόσταση των Α(-6,0) και Β(5,0) σχηματίζουμε τη διαφορά -6-5 =-11. Επειδή είναι αρνητική (η απόσταση δύο σημείων δεν μπορεί να είναι αρνητική) παίρνουμε την αντίθετη της.+11 Επομένως:

• Η απόσταση δύο σημείων ενός άξονα είναι ίση με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετμημένων τους. Δηλαδή, αν τα σημεία έχουν τετμημένες χ₁,χ₂ τότε η απόσταση τους είναι d =| χ₁-χ₂ |

Μήκος ευθυγράμμου τμήματος

Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος μπορώ να υπολογίσω το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος αν γνωρίζω τις συντεταγμένες των άκρων του.

Και να πως:

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία Α(χ₁,y₁), Β(χ₂,y₂) του επιπέδου με χ₁ ≠ χ₂ και y₁ ≠ y₂
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΣ έχουμε
(ΑΒ)² = (ΑΣ)² + (ΒΣ)². Δηλαδή (ΑΒ)² = (χ₁-χ₂)² - (y₁-y₂)²
Επομένως η απόσταση των σημείων Α, Β δίνεται από τη σχέση

Έστω Α(χ₁,y₁)=Α(1,1) και Β(χ₂,y₂)=Β(4,5) τότε

Συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων ακολουθούμε τα εξής βήματα:

•Από το σημείο φέρνουμε κάθετες στους δύο άξονες.

• Σημειώνουμε στους δύο άξονες τις προβολές του σημείου.

• Κοιτάμε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν τα δύο αυτά σημεία.

• Οι δύο αριθμοί που βρήκαμε είναι οι συντεταγμένες του σημείου.

Παράδειγμα

Έστω Μ ένα σημείο του επιπέδου των δύο αξόνων. Από το Μ φέρνουμε κάθετη στον άξονα χ'χ που τον τέμνει στο σημείο Π. Στο σημείο Π παριστάνεται ένας πραγματικός αριθμός έστω α. ' Όμοια από το Μ φέρνουμε κάθετη στο y’y που τον τέμνει στο σημείο Ρ. Στο σημείο Ρ παριστάνεται επίσης ένας πραγματικός αριθμός έστω β.

Αντιστοιχίζουμε λοιπόν στο Μ δύο αριθμούς, πρώτα το α (στον χ' χ) και μετά το β (στον y'y) δηλαδή στο Μ αντιστοιχίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α, β).

Αν (α,β) = (2,3) δες το διπλανό σχήμα

Απόσταση δύο σημείων ενός άξονα

• Για να βρούμε την απόσταση δύο σημείων ενός άξονα αφαιρούμε τις τετμημένες των σημείων αυτών. Αν η διαφορά είναι θετική, αυτή είναι η απόσταση. Αν είναι αρνητική, παίρνουμε ως απόσταση την αντίθετη της. Έτσι, για να βρούμε την απόσταση των Α(-6,0) και Β(5,0) σχηματίζουμε τη διαφορά -6-5 =-11. Επειδή είναι αρνητική (η απόσταση δύο σημείων δεν μπορεί να είναι αρνητική) παίρνουμε την αντίθετη της.+11 Επομένως:

• Η απόσταση δύο σημείων ενός άξονα είναι ίση με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετμημένων τους. Δηλαδή, αν τα σημεία έχουν τετμημένες χ₁,χ₂ τότε η απόσταση τους είναι d =| χ₁-χ₂ |

Μήκος ευθυγράμμου τμήματος

Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος μπορώ να υπολογίσω το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος αν γνωρίζω τις συντεταγμένες των άκρων του.

Και να πως:

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία Α(χ₁,y₁), Β(χ₂,y₂) του επιπέδου με χ₁ ≠ χ₂ και y₁ ≠ y₂
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΣ έχουμε
(ΑΒ)² = (ΑΣ)² + (ΒΣ)². Δηλαδή (ΑΒ)² = (χ₁-χ₂)² - (y₁-y₂)²
Επομένως η απόσταση των σημείων Α, Β δίνεται από τη σχέση

Έστω Α(χ₁,y₁)=Α(1,1) και Β(χ₂,y₂)=Β(4,5) τότε