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Les fonctions variables de temps remplaçant les coefficients peuvent être introduites dans le modèle afin de la rendre cohérente avec une structure de terme pré-attribuée des taux d`intérêt et éventuellement des volatilités. L`approche la plus générale est celle de MAGHSOODI (1996). Une approche plus tractable est dans brigo et Mercurio (2001b) où un décalage dépendant du temps externe est ajouté au modèle pour la cohérence avec une structure de terme en entrée des taux. Une extension significative du modèle CIR au cas de la moyenne stochastique et de la volatilité stochastique est donnée par Lin Chen (1996) et est connu sous le nom de modèle Chen. Un processus CIR est un cas particulier d`une diffusion de saut Affine de base, qui permet encore une expression de forme fermée pour les prix des obligations. où c = 2 a (1 − e − a T) σ 2 {displaystyle c = {frac {2A} {(1-e ^ {-aT}) sigma ^ {2}}}}, et Y est une distribution non centrale de chi-squared avec 4 a b σ 2 {displaystyle {frac {4AB} {sigma ^ {2}}}} degrés de liberté et de non-centralité paramètre 2 c r t e − a T {displaystyle 2Cr _ {t} e ^ {-aT}}. Formellement, la fonction de densité de probabilité est: sous l`hypothèse de non-arbitrage, une obligation peut être tarifées en utilisant ce processus de taux d`intérêt. Le prix obligataire est exponentiel affine dans le taux d`intérêt: la simulation stochastique du processus CIR peut être obtenue en utilisant deux variantes: en finance mathématique, le modèle Cox – Ingersoll – Ross (ou modèle CIR) décrit l`évolution des taux d`intérêt. Il s`agit d`un type de «modèle à un facteur» (modèle à taux court) car il décrit les mouvements de taux d`intérêt comme étant motivés par une seule source de risque de marché.

Le modèle peut être utilisé dans la valorisation des dérivés de taux d`intérêt. Il a été introduit en 1985 par John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll et Stephen A. Ross comme prolongement du modèle Vasicek. Ce processus peut être défini comme une somme de processus Ornstein – Uhlenbeck au carré. Le CIR est un procédé ergodique et possède une distribution stationnaire. Le même processus est utilisé dans le modèle Heston pour modéliser la volatilité stochastique.

est remplie. Plus généralement, lorsque le taux (r t {displaystyle r_ {t}}) est proche de zéro, l`écart type (σ r t {displaystyle sigma {sqrt {r_ {t}}}}) devient également très faible, ce qui amortissait l`effet du choc aléatoire sur le taux. Par conséquent, lorsque le taux est proche de zéro, son évolution devient dominée par le facteur de dérive, qui pousse le taux vers le haut (vers l`équilibre). où W t {displaystyle w_ {t}} est un processus Wiener (modélisation du facteur de risque de marché aléatoire) et un {displaystyle a}, b {displaystyle b} et σ {displaystyle sigma ,} sont les paramètres. Le paramètre a {displaystyle a} correspond à la vitesse de réglage, b, {displaystyle b,} à la moyenne et σ {displaystyle sigma ,} à la volatilité. Le facteur de dérive, a (b − r t) {displaystyle a (b-r_ {t})}, est exactement le même que dans le modèle Vasicek. Il assure une réversion moyenne du taux d`intérêt vers la valeur à long terme b {displaystyle b}, avec la vitesse d`ajustement régie par le paramètre strictement positif a {displaystyle a}.

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