2. Θεωρητική προσέγγιση και διδασκαλία .

Η Άλγεβρα, η Γεωμετρία, η Φυσική και η Διδακτική

Το θεωρητικό μοντέλο

Για να επεξεργαστούμε θεωρητικά ένα τέτοιο ζήτημα και να το παρουσιάσουμε ως διδακτικό αντικείμενο ακολουθούμε τον δρόμο των Φυσικών. Φτιάχνουμε δηλαδή ένα μοντέλο με εικόνες, με Γεωμετρία, με Άλγεβρα και με έννοιες της Φυσικής.

Στο θεωρητικό μας μοντέλο συμμετέχουν:

α. Η έννοια ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ. Για τη Φυσική το ελαστικό μέσο είναι ένα σύνολο από υλικά σημεία καθένα όμως από τα οποία είναι ένας «σημειακός» ταλαντωτής. Εννοείται ότι -εφόσον το ελαστικό μέσο δεν ενεργοποιείται - κάθε σημειακός ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ευσταθούς ισορροπίας του . Εάν συμβαίνει οι κατοικίες όλων των σημειακών ταλαντωτών να βρίσκονται σε μία ΕΥΘΕΙΑ το ελαστικό μέσο θεωρείται ΓΡΑΜΜΙΚΟ. Σε κάθε ελαστικό μέσο αντιστοιχεί και μία τιμή ταχύτητας του κύματος το οποία ενδεχομένως θα διαδοθεί μέσω αυτού. Βλέπουμε δηλαδή ότι η έννοια ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ εμπεριέχει τη γεωμετρική έννοια ΕΥΘΕΙΑ και τις φυσικές έννοιες ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ, ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ, και ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ.

ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ

Τόσο το ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ όσο και το ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ συνιστούν έννοιες με αρκετή ποσότητα Αφαίρεσης. Οι διδακτικοί μας στόχοι οι αναφερόμενοι στην εξοικείωση με τα αφηρημένα αυτά αντικείμενα εξυπηρετούνται καλύτερα εάν φροντίσουμε να συνδέσουμε καθένα από αυτά με τον ΚΟΣΜΟ ΤΟΥ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΥ, από τον οποίο κατάγονται οι περισσότερες από τις αναπαραστάσεις των μαθητών μας αλλά και οι δικές μας. Το να εκτοξεύει ο διδάσκων φράσεις όπως η «κάθε ΣΗΜΕΙΟ του μέσου εκτελεί ταλάντωση» δεν σημαίνει ότι κατάφερε τίποτα πέραν του να επαναλάβουν ορισμένοι μαθητές ότι «κάθε ΣΗΜΕΙΟ του μέσου εκτελεί ταλάντωση». Τι θα μπορούσε όμως να κάνει ο διδάσκων;

Για την έννοια ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ θα μπορούσε να ενθαρρύνει τον διδασκόμενο στο να δημιουργήσει μια προσωπική «εναλλακτική» εικόνα με ένα ΣΥΝΟΛΟ ΣΦΑΙΡΙΔΙΩΝ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΛΑΤΉΡΙΑ .

Στην ίδια κατεύθυνση βρίσκεται και η διδακτική πρακτική του να παρουσιάσει στο εργαστήριο διάταξη με ένα σύνολο από αρκετά εκκρεμή, αναρτημένα από κοινό οριζόντιο στέλεχος, και με το νήμα καθενός από αυτά να συνδέεται με το νήμα του γειτονικού με σπαγκάκι και συνδετήρα

Για κάποια επιπλέον εξοικείωση με την έννοια ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ, την οποία χρησιμοποιεί στη διδασκαλία του στάσιμου κύματος, χρειάζεται επίσης η αναφορά σε κάποιο συγκεκριμένο υλικό αντικείμενο. Η χορδή μιας κιθάρας είναι αντικείμενο που προσφέρεται. Καθώς δηλαδή «εκείνος» εκτοξεύει τη φράση ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ να ζητήσει από τους μαθητές του να φαντάζονται τη χορδή μιας κιθάρας.

β. Η έννοια ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.

Η θέση ισορροπίας κάθε σημειακού ταλαντωτή είναι ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ στο οποίο «εκείνος κατοικεί». Οι διάφορες επίσης θέσεις στις οποίες θα βρεθεί κατά την κίνησή του ο κάθε σημειακός ταλαντωτής συνιστούν ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ του ευκλείδειου χώρου.

ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ

Κατά τη διδασκαλία του ζητήματος ο διδάσκων οφείλει να χειρίζεται τη γλώσσα της περιγραφής

έτσι ώστε να μην συγχέουν οι διδασκόμενοι

ι. την έννοια ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ (στην περίπτωσή μας σημειακός ταλαντωτής) η οποία αναφέρεται σε «κάτι» που έχει μάζα αδράνειας αλλά ενδεχομένως και ενέργεια και ορμή

με

ii. την έννοια ΣΗΜΕΙΟ η οποία είναι έννοια γεωμετρική. Ένα ΣΗΜΕΙΟ ( και με τον όρο αυτό υποδηλώνεται βέβαια ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ) δεν μπορεί να έχει μάζα, ενέργεια και ορμή

Η προτροπή θεμελιώνεται στο δεδομένο ότι

οι περισσότεροι μαθητές, όταν, περιγράφοντες το φαινόμενο, αναφέρονται στο υποκείμενο της κίνησης χρησιμοποιούν το όρο ΣΗΜΕΙΟ αλλά και στο δεδομένο

ότι σε σχολικά βιβλία και φροντιστηριακά βοηθήματα διαβάζουμε . . . (αντιγράφουμε επί λέξει)

«η απομάκρυνση ενός ΣΗΜΕΙΟΥ Μ του μέσου . . . »

«κάθε ΣΗΜΕΙΟ του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση . . . . »

«τα ΣΗΜΕΙΑ που βρίσκονται σε θέση x τέτοια ώστε . . . . »

«υπάρχουν ΣΗΜΕΙΑ που παραμένουν ακίνητα . . . »

γ. Η έννοια ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ. Στη συγκεκριμένη περίπτωση παριστάνεται με ένα άξονα x ΄x τον οποίο επιλέγει η Σκέψη μας. Η απλούστερη επιλογή είναι το να συμπίπτει ο άξονας με την ευθεία του γραμμικού ελαστικού μέσου

Στον άξονα ανήκει και η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ένα γεωμετρικό σημείο τη θέση του οποίου εμείς θα επιλέξουμε

δ. Η έννοια ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ, μία δηλαδή χρονική στιγμή την οποία εμείς επιλέγουμε για την μαθηματική περιγραφή του φαινομένου. Η απλούστερη επιλογή είναι να κάνουμε αυτό που κάνουμε και κατά την περιγραφή του φαινομένου αρμονική ταλάντωση.

ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ και ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ

Τίποτα δεν μπορούμε να περιγράψουμε χωρίς τον ΧΩΡΟ και τον ΧΡΟΝΟ. Στην ελληνική λυκειακή διδακτική παράδοση, η οποία έχει διαμορφωθεί κατά τις δύο τελευταίες δεκαετίες, είναι ιδιαίτερα υποβαθμισμένη η παρουσία ενός χωρικού και ενός χρονικού συστήματος αναφοράς.

Έννοιες όπως η ΘΕΣΗ, η ΤΑΧΥΤΗΤΑ, η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ, η ΟΡΜΗ και η ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ συνήθως - και όχι πάντοτε - παρουσιάζονται σαν να μην σχετίζονται οπωσδήποτε με συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Και αυτό έχει διαμορφώσει και μια ιδιάζουσα επιστημολογική συνείδηση σε πολλούς από τους διδάσκοντες και σίγουρα όχι σε όλους. Πρόκειται για μία εξέλιξη σημαδεμένη και από το σύνδρομο της «φροντιστηριακής αποτελεσματικότητας» σύμφωνα με το οποίο «η ουσία της διδασκαλίας της Φυσικής είναι η εκμάθηση κάποιων τύπων και η εκγύμναση σε ορισμένες τεχνικές». Και για το σύνδρομο αυτό , κατά τη δική μας άποψη, οι ευθύνες δεν ανήκουν σε κάποιους φροντιστές τους οποίους θα χρειαστεί «να δικάσουμε». Το μεγαλύτερο μέρος των ευθυνών ανήκει στην πολιτεία η οποία λειτουργεί σαν να μην έχει υποψιαστεί τον μορφωτικό ρόλο της Φυσικής και σε πολλούς από τους διδάσκοντες στα ελληνικά Λύκεια οι οποίοι πλειοδοτούν σε πρακτικές αυτού του τύπου.

Ο χρυσός κανόνας της Διδακτικής είναι το μέτρο. Αυτό για τη συγκεκριμένη περίπτωση σημαίνει ότι εμείς δεν προτείνουμε κάθε φορά που αναφερόμαστε σε ταχύτητα να λέμε «ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς». Προτείνουμε μία διδακτική πρακτική που διακηρύσσει μια για πάντα ότι το y της εξίσωσης ενός μηχανικού κύματος δεν είναι μόνο κάποια αλγεβρική μεταβλητή αλλά μία φυσική ποσότητα η οποία ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ σε συγκεκριμένο υλικό σημείο και σε συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς

ε. Το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ , οι σχετιζόμενες με αυτό έννοιες, ΠΛΑΤΟΣ, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ και η σχετική εξίσωση της περιγραφής

στ. Η έννοια ΕΓΚΑΡΣΙΟ ΚΥΜΑ , οι σχετιζόμενες με αυτήν ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ, ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ και η αντίστοιχη μαθηματική περιγραφή

ζ. Το φαινόμενο ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ και η σχετική αρχή της επαλληλίας

Η μαθηματική επεξεργασία

Φανταζόμαστε δύο αρμονικά κύματα του ίδιου πλάτους και της ίδιας συχνότητας να διαδίδονται στο ίδιο ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ προς αντίθετες κατευθύνσεις και να συμβάλλουν. Επιδιώκουμε να προβλέψουμε θεωρητικά το αποτέλεσμα της συμβολής. Για να το πετύχουμε απλοποιούμε το μοντέλο μας θεωρώντας ότι τα δύο κύματα είναι εγκάρσια και ότι οι ταλαντώσεις γίνονται στο ίδιο επίπεδο.

Επιλέγουμε έναν άξονα x΄x με κριτήριο το «να συμπίπτει με τη διεύθυνση της διάδοσης» και ως αρχή των αξόνων επιλέγουμε ένα γεωμετρικό σημείο το οποίο θα συμπίπτει βέβαια με τη θέση ισορροπίας κάποιου σημειακού ταλαντωτή, ας τον ονομάσουμε Ο.

Για λόγους απλούστευσης η επιλογή της αρχής των αξόνων γίνεται με το εξής κριτήριο.

«Αν η κίνηση που θα εκτελούσε ο ταλαντωτής Ο, λόγω του προς τα δεξιά κύματος, περιγράφεται με την εξίσωση y = Aημωt, η κίνηση που θα εκτελούσε, ο ίδιος ταλαντωτής, λόγω του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος, να περιγράφεται με την y΄= Aημωt.».

Αυτό σημαίνει ότι η αρχή των αξόνων επιλέγεται έτσι ώστε η σύνθετη κίνηση του ταλαντωτή Ο, που έχει ως θέση ισορροπίας το σημείο αυτό, να περιγράφεται με την εξίσωση ξ = 2Aημωt, η ότι «ο ταλαντωτής που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με πλάτος 2Α».

Θεωρούμε τώρα έναν άλλο (σημειακό) ταλαντωτή , τον Μ, με θέση ισορροπίας κάποιο γεωμετρικό σημείο του θετικού ημιάξονα σε απόσταση + x, από την αρχή των αξόνων.

Λόγω του προς τα δεξιά διαδιδόμενου κύματος η κίνηση του Μ περιγράφεται με την y_Μ = Aημω(t - x/c).

Η εξίσωση εκφράζει το γεγονός ότι σε κάθε "ΤΩΡΑ", ο Μ, ΕΧΕΙ την απομάκρυνση που ΕΙΧΕ ο ταλαντωτής Ο πριν από χρόνο x/c, όπου c η ταχύτητα διάδοσης του κύματος .

Ας δούμε και πώς επηρεάζεται ο Μ λόγω του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος.

Το κύμα αυτό δημιουργεί, όπως είπαμε, στον Ο την ταλάντωση y΄ = Aημωt.

Λόγω αυτού του προς τα αριστερά κύματος ο ταλαντωτής Ο πρέπει, σε κάθε «ΤΩΡΑ» ,

ΝΑ ΕΧΕΙ την απομάκρυνση την οποία ΕΙΧΕ ο Μ πριν από χρόνο x/ c.

Αυτό σημαίνει ότι εφόσον η εξίσωση κίνησης του Ο λόγω του προς τα αριστερά κύματος είναι η

y ΄ = Aημωt η εξίσωση κίνησης του Μ, λόγω του ίδιου αυτού κύματος, θα είναι η y_Μ΄ = Aημω(t+ x/c).

Ο ταλαντωτής Μ συμμετέχει όμως και στις δύο κινήσεις με συνέπεια η εξίσωση της κίνησής του να είναι ξ = Aημω (t- x/c) + Aημω(t+ x/c).

Αν κάνουμε τις πράξεις θα προκύψει ξ = 2Aσυν(ωx/c) ημωt.

Για τον συγκεκριμένο ταλαντωτή Μ, τη σχέση αυτή ο φυσικός τη βλέπει ως μία ημιτονοειδή συνάρτηση της απομάκρυνσης ξ με τον χρόνο t.

ξ = 2Aσυν(ωx/c) ημωt

και αποφαίνεται ότι « η κίνηση είναι αρμονική ταλάντωση πλάτους 2Aσυν(ωx/c) ».

Εφόσον ο Μ είναι ένας οποιοσδήποτε ταλαντωτής (υλικό σημείο του ελαστικού μέσου) το συμπέρασμα είναι ότι, με την εξαίρεση ορισμένων που παραμένουν ακίνητα, κάθε υλικό σημείο του ελαστικού μέσου εκτελεί αρμονική ταλάντωση

ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ

Κατά τη διδασκαλία του ζητήματος ο διδάσκων οφείλει να ασκεί τους μαθητές του στο

να μάθουν να «αντικρίζουν» τις διάφορες αλγεβρικές δομές μέσα από τη λογική της φυσικής.

Αν συμβολίσουμε την ποσότητα «πλάτος» 2Aσυν(ωx/c) με το ξ_ο μπορούμε να δούμε τη σχέση προκύπτει ως συνάρτηση δύο μεταβλητών ξ_ο= f (x)

ξ_ο= 2Aσυν(ωx/c)

και να τη διαβάσουμε σε γλώσσα φυσικής. «Μας λέει» ότι το ΠΛΑΤΟΣ της ταλάντωσης κάθε σημειακού ταλαντωτή εξαρτάται από τη θέση του, αλλά και ότι η εξάρτηση είναι συγκεκριμένης μορφής

3. Το στάσιμο κύμα δεν είναι ΚΥΜΑ.